[b][size=150]＜３次方程式の解＞[br]・３次方程式の解の個数を求めたり、解の分離をするために、[br]微分してグラフの外形の情報を作る。[/size][size=150]３次曲線の特性を計量的にさぐろう。[/size][/b][br][color=#0000ff][b][size=150]・f(x)=x[sup]2[/sup](x-3k)[b][size=150]=x[sup]3[/sup]-3kx[sup]2[/sup][/size][/b]はx=0,3kの２つの実数解をもつ。......グラフ１とする[br][/size][/b][/color]導関数f'(x)=3x[sup]2[/sup]-6kx=3x(x-2k)=0の解[u][color=#0000ff]x=0,2kで極値[/color][/u]をもつ。f(2k)=(2k)[sup]2[/sup](2k-3k)=-4k[sup]3[/sup]もちろんD>0。[br]さらに微分してf''(x)=6x-6k=0とすると、x=k。f(k)=k[sup]2[/sup](k-3k)=-2k[sup]3[/sup][br][color=#0000ff][u]点Middle(k,-2k[sup]3[/sup])[/u]は極大点Top(0,0)と極小点Bottom(2k,-4k[sup]3[/sup])の中点。[br][/color]点Middleは凸から下に凸に入れ替わるへそがあり、ここで点対称になる。だからRight(3k,0)の対称点は[br]x=k-(3k-k)=-kからLeft(-k,-4k[sup]3[/sup])となるはずで、実際にf(-k)=(-k)[sup]2[/sup](-k-3k)=-4k[sup]3[/sup]=f(2k)となる。[br][color=#0000ff]４点Left,Top,Middle,Bottom,Rightのｘ座標は、-k,0,k,2k,3kと等差数列になる。[br]また、ｙ座標はk³を単位として、-4,0,-2,-4,0（倍）と位置変化している。[br]３次関数なだけに、０から０に戻ったり-4から-4に戻るのに、３個単位になっている。[br]２次関数のような、２個単位のカーブとはちがう曲がり方になっていることがわかる。[br][/color][br][b][size=150]・[color=#0000ff]f(x)=(x+k)[sup]2[/sup](x+k-3k)＋2k[sup]3[/sup]=x[sup]3[/sup]-3k[sup]2[/sup]x=x(x[sup]2[/sup]-3k[sup]2[/sup])[/color][/size][/b][color=#0000ff][b][size=150]は３つの実数解ｘ＝0.√3k,-√3kをもつ。[/size][/b][/color][br][b][size=150]......グラフ２とする。グラフ１の点Middle(k,-2k[sup]3[/sup])を原点(0,0)に平行移動したもの。[br][/size][/b]導関数f'(x)=3x[sup]2[/sup]-3k[sup]2[/sup]=3(x-k)(x+k)=0の解[u][color=#0000ff]x=-k,+kで極値[/color][/u]をもつ。f(-k)=-2k[sup]3[/sup],f(k)=2k[sup]3[/sup]=-f(-k)。もちろんD>0。[br]さらに微分してf''(x)=6x=0とすると、x=0。f(0)=0[br][color=#0000ff]点Middle(0,0)は極大点Top(-k,-2k[sup]3[/sup])と極小点Bottom(k,2k[sup]3[/sup])の中点。[br][/color]点Middleは凸から下に凸に入れ替わるへそがあり、ここで点対称になる。[br]だからRight(2k,f(2k))=(2k,2k[sup]3[/sup])の対称点はLeft(-2k,-2k[sup]3[/sup])となるはずで、[br]実際にf(-2k)=(-2k)((-2k)[sup]2[/sup]-3k[sup]2[/sup])=-2k[sup]3[/sup][sup][/sup]=f(2k)となる。[br]４点Left,Top,Middle,Bottom,Rightのｘ座標は、-2k,k,0,k,2kと等差数列になる。[br]また、ｙ座標は2k³を単位として、-1,1,0,-1,1（倍）と位置変化している。[br]３次関数なだけに、-1から-1に戻ったり1から1に戻るのに、３個単位になっている。[br]２次関数のような、２個単位のカーブとはちがう曲がり方になっていることがわかる。[br][br]・１つの実数解のみをもつ場合[br]　導関数の判別式が０以下では極値がないので、３次曲線は直線のようにｘ軸と１回だけ交わる。[br]　導関数の判別式が正の場合でも、極小値になる臨界数のｘ＝pで、f(p)>0ならｘ軸との交点は１個のみ。[br][br][color=#0000ff]（例）「[/color]３次方程式2x[sup]3[/sup]-ax[sup]2[/sup]+1=0が異なる２実数解をもつときの定数a」は？[br]　f(x)=2x[sup]3[/sup]-ax[sup]2[/sup]+1は必ず１つ以上の実数解をもつ。３個の実数解を持たないということは、あと１個は[br]　重複解である。ｘを-∞から正へ順に動かすと、f(x)は(ー,０,極大,０(=極小),＋)という順のグラフ。[br]　導関数f'(x)=6x[sup]2[/sup]-2ax=6x(x-a/3)=0の解x=0,a/3。[br]　f(0)=1が正だからx=0では極小にならず、a/3は０より大。[br]　f(a/3)=2/27a3-1/9a3+1=-1/27a[sup]3[/sup]+1=0。a[sup]3[/sup]=27から、a=3。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「3次係数１の３次関数y=f(x)がx=αで極大、x=βで極小のときf((α+β)/2)=(f(α)+f(β))/2」の理由は？[br] ３次方程式f(x)=x[sup]3[/sup]+ax[sup]2[/sup]+bx+c=0とすると、α＜βはf'(x)=3x[sup]2[/sup]+2ax+b=0の２解。α+β=-2a/3, αβ=b/3。[br] m=(α+β)/2=-a/3。[br] 左辺=f(m)=m[sup]3[/sup]+am[sup]2[/sup]+bm+c=(-a/3)[sup]2[/sup](-a/3+a)+b(-a/3)+c=-2/27a[sup]3[/sup]-1/3ab+c[br] α[sup]3[/sup]+β[sup]3[/sup]=(α+β)[sup]3[/sup]-3αβ(α+β)=(-2/3a)[sup]3[/sup]-3(b/3)(-2/3a)=-8/27 a[sup]3[/sup]+2/3ab [br] a(α[sup]2[/sup]+β[sup]2[/sup])=a((α+β)[sup]2[/sup]-2αβ))=a((-2/3a)[sup]2[/sup]-2(b/3)) = 4/9 a[sup]3 [/sup]- 2/3ab [br] b(α+β)=b(-2/3a)=-2/3ab[br] 右辺=(-8/27 a[sup]3[/sup]+ 4/9 a[sup]3 [/sup]-2/3ab +2c)/2=-2/27 a[sup]3 [/sup]-1/3ab +c。左辺＝右辺で証明終わり。[br] 右辺(3(α[sup]2[/sup]+β[sup]2[/sup])+a(α+β)+2b)/2=3((-a/3)[sup]2[/sup]-2(b/3))+a(-a/3)+2b)/2=a2/9-2/3b-a2/3+[br][color=#0000ff]（例）「[/color]3次方程式x[sup]3[/sup]-3/2x[sup]2[/sup]-6x-k=0が3実数解をもち小さい順にα、β、γとすると、[br]　3実数解はP以上Q以下の範囲にあり、α、β、γの境界がR,Sになる。P,Q,R,Sの値」は？[br]　f(x)＝x[sup]3[/sup]-3/2x[sup]2[/sup]-6xとおくと、f'(x)=3x[sup]2[/sup]-3x-6=3(x+1)(x-2)=0の解は2,-1。[br]　kが極大f(-1)=7/2と極小f(2)=-10の間を動けば、3実数解を持つ。[br]　極大値の点Top(-1,7/2)と、極小値の点Bottom(2,-1)の中点をMiddleとする。[br]　x(Middle)=(x(Bottom)+x(Top))/2=(2-1)/2=1/2。この３点のｘ座標は等差数列になる。[br]　公差d=x(Bottom)-x(Middle)=2-1/2=3/2。x(Bottom)+d=2+3/2=7/2をｘ座標にするfの点をRightとする。[br]　x(Top)-d=-1-3/2=-5/2をｘ座標にするfの点をLeftとする。[br]　３次曲線の特性から、y(Right)=y(Top)=7/2、y(Left)=y(Bottom)=-10となる。[br]　これから、直線y=kは２点Left, Rightを結ぶ対角線をもつ長方形の中を平行移動する。[br]　だから、[br] αはLeftからTopまでのグラフとの交点、[br] βはTopからBottomまでのグラフとの交点、[br] γはBottomからRightまでグラフとの交点となる。[br] P,Q,R,S = -5/2, 7/2, -1,2。[br]　

微分を使うことで、変化のおよその形がわかります。[br][b][size=150]＜最大化・最小化＞[/size][/b][br]定義域が実数全体でない３次関数には、最大値・最小値がある。[br]定義域の２つの際と、極大値・極小値が、最大値・最小値の候補になる。[br]・手順[br]条件が数式になっていないときは、変数ｘと関数値の関係式を作る。[br]微分によって変化の傾向と極大値・極小値の有無や、なりうるｘの値を求めよう。[br]可能性のあるｘ（[color=#0000ff][u]定義域の際[/u][/color]と[color=#0000ff][u]導関数＝０の解ｘ[/u][/color]）での関数値を求める。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color]f(x)=x[sup]3[/sup]-x[sup]2[/sup]-x+2(ｘは−１以上２以下の変域）の最大値と最小値[br]導関数f'(x)=3x[sup]2[/sup]-2x-1=(3x+1)(x-1)=0の解はx=-1/3,1。このｘ以外に可能性のあるｘは定義域の際。[br]f(-1)=1, f(-1/3)=59/27, f(1)=1,f(2)=4。から、最大値４，最小値１[br][color=#0000ff]（例）[/color]１辺10cmの正方形の４角から一辺ｘの正方形を切り落として作る容積が最大となるｘは？[br]V(x)=x(10-2x)[sup]2[/sup]=4x(x-5)[sup]2[/sup]=4(x[sup]3[/sup]-10x[sup]2[/sup]+25x),導関数V'(x)=4(3x[sup]2[/sup]-20x+25)=4(3x-5)(x-5)=0からx=5/3,5。[br]ｘは０と10/2=5の間が変域。V(0)=V(5)=0から、V(5/3)で最大。x=5/3。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「θを正でπ/2以下とするときf=sin[sup]3[/sup]θ+cos[sup]3[/sup]θのとる範囲」は?[br] sinθ+cosθ=tとすると、√(1[sup]2[/sup]+1[sup]2[/sup])=√2から合成するとt=√2(sin(θ+π/4))は√2・1/√2=1以上√2・1=√2以下。[br] f(t)=t[sup]3[/sup]- 3t sinθcosθ= t[sup]3[/sup]-3t (t[sup]2[/sup]-1)/2= (- t[sup]3[/sup]+3t)/2。f'(t)=(-3t[sup]2[/sup]+3)/2=-3/2(t+1)(t-1)[br] t=±1で極値で、f(t)の３次係数が負で、t変域が1以上√2だから、t=1で最大それからt=√2は減少する。[br]f(1)=(-1+3)/2=1からf(√2)=(-2√2+3√2)/2=√2/2まで減少[br][color=#0000ff]（例）[/color]「実数x,y,zでx+y+z=0,x[sup]2[/sup]+x-yz-1=0のときのｘの範囲とP＝x[sup]3[/sup]+y[sup]3[/sup]+z[sup]3[/sup]の範囲」は？[br] xとｘ以外に等式で分離しよう。-x=y+z, x[sup]2[/sup]+x--1=yz。yとzの和差の式と解と係数関係から[br] yとzはt[sup]2[/sup]+xt+x[sup]2[/sup]+x-1=0の実数解。D=x[sup]2[/sup]-4(x[sup]2[/sup]+x-1)=-3x[sup]2[/sup]-4x+4=-(3x-2)(x+2)が非負で、ｘは-2以上2/3以下。[br]　y[sup]3[/sup]+z[sup]3[/sup]＝(y+z)[sup]3[/sup]-3yz(y+z)=(-x)[sup]3[/sup]-3(x[sup]2[/sup]+x--1)(-x)=(-x)((-x)[sup]2[/sup]-3(x[sup]2[/sup]+x--1))=(-x)(-2x[sup]2[/sup]-3x+3)=2x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup]-3xだから、[br]P(x)=3x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup]-3x=3x(x[sup]2[/sup]+x-1) P'(x)=9x2+6x-3=3(3x[sup]2[/sup]+2x-1)=3(3x-1)(x+1)=0からx=-1,１/3で極値。[br]P(-2)=3(-2)(4-2-1)=-6　↗　P(-1)=3(-1)(1-1-1)=3（極大）↘P(1/3)=3(1/3)(1/9+1/3-1)=-5/9(極小）↗[br]P(2/3)=3(2/3)(4/9+2/3-1)=2/2　この増減から、Pの範囲は-6以上3以下。

接線の傾きが導関数で表せることを使うと、接線の問題と微分がつながります。[br][b][size=150]＜放物線外からの接線＞[/size][/b][br]たとえば、点A（１，ー１）から放物線[color=#0000ff][parabola][/color]y=x[sup]2[/sup]への接線をひくときの接点Bのｘ座標を求めたい。[br][color=#0000ff]（解１）[/color][br]導関数は(x[sup]2[/sup])'=2xだから、接点をB(ｘ,x[sup]2[/sup])とすると、Bでの傾きは２通りで表せる。[br]y(AB)/x(AB)=(x[sup]2[/sup]-(-1))/(x-1)=2xとなるね。x[sup]2[/sup]+1=2x(x-1)。x[sup]2[/sup]-2x-1=0を解いて、[br]接点Bのｘ座標は[u]x=1+√2, 1-√2[/u]。傾きは2xから２倍すれば出せる。[br][color=#0000ff]（解２）[/color][br]微分を使わない場合は、接線の方程式をy=m(x-1)-1とおく。[br]y=x[sup]2[/sup]と連立した方程式x[sup]2[/sup]-mx+m+1=0の解が重複解をもつため、[br]判別式D=m[sup]2[/sup]-4(m+1)=m[sup]2[/sup]-4m-4=0として、[u]m=2+2√2,2-2√2[/u]となる。[br]これからmの値をｘの方程式に代入してそれぞれｘを求められるが、遠回りだ。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「点P(1,a)から曲線y=x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup]へ３本の接線が引けるときのaの範囲」は？[br]導関数はy'=3x[sup]2[/sup]+6xだから、接点をQ(x, x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup])とすると、接線の傾き=y(PQ)/x(PQ)[br]=(x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup][size=150][size=100]-a)/(x-1)=3x[sup]2[/sup]+6x。x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup][size=150][size=100]-a=(3x[sup]2[/sup]+6x)(x-1)=3x[sup]3[/sup]+6x[sup]2[/sup]-3x[sup]2[/sup]-6x=3x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup]-6x[br][/size][/size][/size][size=100]これから、[size=150][size=100]2x[sup]3[/sup]-6x=aこれが異なる３実数解をもてばよいね。[br]扱いやすく言い換える。f(x)=2x[sup]3[/sup]-6xとy=aが３交点をもつときのaの範囲を調べよう。[br]f'(x)=6x2-6=6(x-1)(x+1)=0の解x=±1で極値。f(1)=2-6=-4。f(-1)=-2+6=4から、aの範囲は-4と4の間。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「点P(a,b)から曲線y=x[sup]3[/sup]-2xへ３本の接線が引ける点Pの存在範囲」は？[br]導関数はy'=3x[sup]2[/sup]-2だ。接点をQ(x, x[sup]3[/sup]-2x)とすると、接線の傾き=y(PQ)/x(PQ)[br]=(x[sup]3[/sup]-2x[sup][/sup][size=150][size=100]-b)/(x-a)=3x[sup]2[/sup]-2。x[sup]3[/sup]-2x[sup][/sup][size=150][size=100]-b=(3x[sup]2[/sup]-2)(x-a)=3x[sup]3[/sup]-3ax[sup]2[/sup]-2x+2a=3x[sup]3[/sup]-3ax[sup]2[/sup]-2x+2a[br][/size][/size][/size][size=100]これから、f(x)=[size=150][size=100]2x[sup]3[/sup]-3ax[sup]2[/sup]+2a+b=0これが異なる３実数解をもてばよいね。[br]f'(x)=6x[sup]2[/sup]-6ax=6x(x-a)=0から、x=0,aで極値。[br]f(0)f(a)<0なら、区間[0,a]の間でもｘ軸と交わり３実数解をもつ。[br]g(a,b)=f(0)f(a)=(2a+b)(-a[sup]3[/sup]+2a+b)が負になる領域が(a,b)の存在範囲になるね。[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][b][br]＜放物線内からの法線＞[/b][/size][br]たとえば、点A（3，15)からy=1/16x[sup]2[/sup]への法線をひくとき交点Bのｘ座標を求めたい。[br][color=#0000ff]（解）[/color][br]導関数は(1/16x[sup]2[/sup])'=1/8xだから、接点をB(x,1/16x[sup]2[/sup])とすると、Bでの法線の傾きは[br]y(AB)/x(AB)=(1/16x[sup]2[/sup]-15)/(x-3)。これは法線の傾きと接線の傾きの積は−１だから、-1÷(x/8)=-8/x[br]だから、[math]\frac{\frac{1}{16}x^2-15}{x-3}=-\frac{8}{x}[/math], [math]\left(x^2-240\right)x=-8\left(x-3\right)16[/math] [math]x^3-240x+128x-384=0[/math] [br][math]f\left(x\right)=x^3-112x-384=0[/math] f(-4)=-64+448-384=0　因数定理から(1 0 -112 -384)÷(1 4)=( 1 -4 -96)[br]x[sup]2[/sup]-4x-96=(x+8)(x-12)=0。以上から[u]ｘ＝-4,-8,12[/u]が法線が放物線に交わる３点のｘ座標となる。[br]