Aqui, será apresentado como calcular a distância entre duas retas no espaço, que será denotada como D(f,g). Vale lembrar que quando se fala de distância entre duas retas, quer-se referir à [b]menor distância[/b] entre elas. Para ajudar um pouco na visualização dos exercícios é necessário a apresentação da [b]reta reversa[/b], que são retas que não pertencem ao mesmo plano, como exemplo da figura abaixo:[br]Arraste a figura para a visualização ficar mais clara.

[b]Não se pode[/b] adotar a estratégia feita ,por exemplo, no cálculo da distância de duas retas no mesmo plano: de escolher um ponto qualquer de uma das retas e fazer a distância desse ponto até à outra reta. Porque nesse caso as distâncias entra as duas retas não são sempre constantes, [b]ou seja[/b] , [b]elas não são paralelas[/b]

Para a demonstração de como se chega ao cálculo da distância é bom dar destaque à alguns elementos importantes:[br]-[b]Vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BAB%7D[/img][/b], é o vetor que liga um [b]ponto A qualquer[/b] da reta f à um [b]ponto B qualquer[/b] da reta g. Aqui, é importante lembrar que é [b]você quem escolhe[/b] os pontos B e A, a única condição que precisa atender é a de que tem que pertencer às respectivas retas.[br]-[b]Vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BU%7D[/img][/b], é o vetor diretor da reta f.[br]-[b]Vetor [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BV%7D[/img][/b], é o vetor diretor da reta g.

A estratégia para calcular a menor distância entre essas retas é parecida de como foi feito anteriormente para calcular a distância entre ponto e reta. Porém ao invés de analisar um paralelogramo, é mais vantajoso analisar o paralelepípedo.[br]Como o que está sendo analisado é um paralelepípedo, é muito importante enxergar ele. É importante lembrar que o paralelepípedo é interessante de ser usado porque é possível trabalhar nele usando produto misto.[br]Aqui estão os três vetores importantes para o cálculo da distância, [b]eles foram deslocados para ser possível ver o paralelepípedo formado por eles[/b]:

E aqui o paralelepípedo formado por eles:

[b]Vetor diretor de f= [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BU%7D[/img][br]Vetor diretor de g= [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BV%7D[/img][br]Vetor que liga um ponto qualquer de f à um ponto qualquer de g= [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BAB%7D[/img][br]Volume=Área base * Altura[/b][br][b]Volume=Produto misto= [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B80%7D%20%5Cleft%20%7C%20%3C%5Cvec%7BAB%7D%2C%5Cvec%7BV%7DX%5Cvec%7BU%7D%20%3E%20%5Cright%20%7C[/img][br][/b]Os dois volumes são equivalentes, logo, podemos relaciona-los.[br]Como está bem evidente, a [b]Área base = [img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B80%7D%20%5Cleft%20%7C%20%5Cvec%7BV%7DX%5Cvec%7BU%7D%20%5Cright%20%7C[/img][/b], que é o módulo do produto vetorial entre os vetores [b][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BU%7D[/img][/b]e [b][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BV%7D[/img][/b].[br][b]Produto misto=[b]Área base * Altura[/b][br][/b][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%5Cvec%7BAB%7D%2C%5Cvec%7BV%7D%20X%20%5Cvec%7BU%7D%20%5Cright%20%7C%3D%5Cleft%20%7C%20%5Cvec%7BV%7DX%20%5Cvec%7BU%7D%20%5Cright%20%7C*Altura[/img][br][br][b]E assim, a fórmula final da distância entre duas retas fica:[/b][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?Altura%3DD%28f%2Cg%29%3D%5Cleft%20%7C%20%3C%5Cvec%7BAB%7D%2C%5Cvec%7BV%7DX%5Cvec%7BU%7D%20%3E%20%5Cright%20%7C%5Cdiv%20%5Cleft%20%7C%20%5Cvec%7BV%7DX%5Cvec%7BU%7D%20%5Cright%20%7C[/img][br][br]

Sabe-se que o volume do paralelepípedo é: [b]Volume=Área base X Altura[/b][br]Essa altura é o que interessa, pois ela será a distância desejada entre as duas retas.[br]A área da base(em vermelho) e a altura vistas de forma mais clara:

Arrastando o controle deslizante t, perceba que só tem uma distância que será mínima