Strecken und Verschieben von Parabeln

1. Kapitel: Lernziele
[center][u][b]Wasserfontäne[/b][/u][/center][justify]Die folgende Parabel zeigt den Verlauf eines Wasserstrahls, welcher aus einem Gartenschlauch austritt. Um den Wasserstrahl mit Hilfe der Parabel darstellen zu können, werden wir im ersten Kapitel die Streckung und Verschiebung von Parabeln wiederholen und vertiefen.[br][/justify][br]Eure [u][b]Lernziele[/b][/u] für dieses Kapitel werden sein: [br]Die Streckung und Verschiebung aus der Normalparabel für verschiedene Paramter abzuleiten. Anschließend werdet ihr mit Hilfe von Geogebra eine passende Parabel für die Wasserfontäne finden und verschiedene Aufgaben dazu lösen.[br]Nutze in diesem Kapitel das dazugehörige Arbeitsblatt, um die Aufgaben zu lösen.
Die Wasserfontäne
Einstiegsaufgabe: Fallschirmspringen
Ein Fallschirmspringer
Ein Fallschirmspringer springt aus einem Flugzeug. Um seinen Flugverlauf festzuhalten, hat er eine Uhr und einen Höhenmesser bei sich.
1. Die angezeigte Funktion wurde durch das Gerät aufgezeichnet. Fülle hierzu die Tabelle aus:[br][br][br][table][tr][td][color=#000000]Zeit in sek. [br][/color][/td][td]0 [/td][td]1 [/td][td]2 [/td][td]3 [/td][td]4 [/td][td]5 [/td][td]6 [/td][td] [/td][td] [br][/td][/tr][tr][td]abnehmende Höhenmeter[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][br][/td][/tr][/table][br][br]Du kannst das obige GeoGebra-Applet zur Hilfe nehmen. Bewege hierbei den Punkt A und lies gleichzeitig die dazugehörigen x- und y-Werte in der Wertetabelle ab. [br][br]2. Wie hängen Zeit und Höhenmeter zusammen? Stelle einen Funktionsterm auf.[br][br]3. Nach wie vielen Sekunden kommt der Fallschirmspringer am Boden an, wenn er in einer Höhe von 3000m abspringt? [br][br]
Infotext: Einführung quadratischer Funktionen
Eine Funktion f ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Der Funktionsterm wird mit f(x) bezeichnet. Gibt man in die quadratische Funktion einen x-Wert ein, erhält man in der Wertetabelle den dazugehörigen y-Wert der quadratischen Funktion f(x). [br][br]Die Funktion [math]f\left(x\right)=ax^2[/math] heißt quadratische Funktion. Ist der Koeffizient a=1, spricht man von der Normalparabel. Das dazugehörige Schaubild nennt man Graph der Funktion.
1. Aufgabe
[justify][b][u]Arbeitsanweisung:[/u][/b][br]Untersuche das Schaubild von [math]g\left(x\right)=x^2+y_s[/math] für x,[math]y_s[/math] [math]\epsilon\mathbb{R}[/math][br]1. Verändere mit dem Schieberegler den Wert von [math]y_s[/math] und beobachte, wie sich das Schaubild ausgehend von der Normalparabel für folgende Werte verändert:[br] [math]y_s=3,y_s=4,y_s=-2,y_s=-1[/math].[br]Fülle die auf dem Arbeitsblatt angegebene Wertetabelle aus. Übertrage die zugehörige Skizze der Funktionen auf dein Arbeitsblatt.[/justify]
[table][tr][td]x[/td][td]-3[/td][td]-2[/td][td]-1[/td][td]0[br][/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]Das Schaubild entsteht aus [br]der Normalparabel durch...[/td][td]Der Scheitelpunkt[br]liegt im Punkt...[/td][/tr][tr][td][math]f\left(x\right)=x^2[/math][/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td]  -[br][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]g_1\left(x\right)=x^2+3[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]g_2\left(x\right)=x^2+4[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]g_3\left(x\right)=x^2-1[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]g_4\left(x\right)=x^2-2[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table][br]2. Welche Bedeutung hat der Parameter [math]y_s[/math] für den Verlauf des Funktionsgraphen von g(x)=[math]x^2+y_s[/math]?[br]Analysiere, wie sich das Schaubild zu g(x) ausgehend von der Normalparabel verändert. Fülle folgende Lücken aus und leite eine Regel ab![br][br][u][b]Lückentext:[/b][/u][br]Das Schaubild der quadratischen Funktion [math]g\left(x\right)=x^2+y_s[/math] entsteht aus der Normalparabel durch[br](1)................................................. des Graphen in (2)....................- Richtung um (3)................... Einheiten. [br]Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten (4) (.................../....................).[br][br][u][b]Regel:[/b][/u][br]Das Schaubild der Funktion g(x) = [math]x^2+y_s[/math] entsteht aus der Normalparabel für[br][br]1. [math]y_s<0[/math]: durch[br][br][br]2. [math]y_s>0:[/math] durch
2. Aufgabe
[justify][u][b]Arbeitsanweisung:[/b][/u][br]Untersuche nun das Schaubild der Funktion [b]h(x) = (x − d)[sup]2[/sup][/b] , mit d [math]\epsilon[/math] [math]\mathbb{R}[/math]. [br]1. Verändere mit dem Schieberegler den Wert von d und beobachte, wie sich das Schaubild ausgehend von der Normalparabel für folgende Werte verändert:[br]d = 2; d = 1; d = -1; d = -2.[br][/justify]Fülle die auf dem Arbeitsblatt angegebene Wertetabelle aus. Übertrage die zugehörige Skizze der Funktionen auf dein Arbeitsblatt.[br]Hilfestellung: Du kannst die angezeigte Wertetabelle auf dem GeoGebra-Applet zur Hilfe nehmen.
1.[br][table][tr][td]x[/td][td]-3[/td][td]-2[/td][td]-1[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]Das Schaubild entsteht aus [br]der Normalparabel durch...[/td][td]Der Scheitelpunkt[br]liegt im Punkt...[/td][/tr][tr][td][math]f\left(x\right)=x^2[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]h_1\left(x\right)=\left(x-2\right)^2[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]h_2\left(x\right)=\left(x-1\right)^2[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]h_3\left(x\right)=\left(x+1\right)^2[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]h_4\left(x\right)=\left(x+2\right)^2[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table][br][br][br][br]2. Welche Bedeutung hat der Parameter d für den Verlauf des Funktionsgraphen?[br]Analysiere, wie sich das Schaubild ausgehend von der Normalparabel f(x) = [math]x^2[/math] verändert. Fülle dazu folgende Lücken aus und vervollständige die Regel.[br][br][u][b]Lückentext:[/b][/u][br]Wird das x von [math]f\left(x\right)=x^2[/math] durch (x-d) ersetzt ( [math]h\left(x\right)=\left(x-d\right)^2[/math] ), so (1)....................................... sich der Graph in (2)...........................-Richtung um (3).................... Einheiten.[br]Aus dieser Schreibweise kann der Scheitelpunkt direkt abgelesen werden. Die Koordinaten des Scheitelpunktes sind (4) (......../........)[br][br][u][b]Regel:[/b][/u][br]Das Schaubild der Funktion [math]h\left(x\right)=\left(x-d\right)^2[/math] entsteht aus der Normalparabel für[br][br]1. d< 0: durch [br][br]2. d> 0: durch
Aufgabe 3
[b][u]Arbeitsanweisung:[/u][/b][br]Verschiebe nun das Schaubild zu [math]k\left(x\right)=\left(x-d\right)^2+y_s[/math] mit [math]x,d,y_s\in\mathbb{R}[/math]  , indem du die Werte von d und [math]y_s[/math] mit Hilfe der Schieberegler veränderst. [br]Bearbeite folgende Aufgaben auf dem Arbeitsblatt:[br][br]1. Analysiere, wie die angegebenen Funktionen aus der Normalparabel entstehen. Bestimme anschließend den Scheitelpunkt.[br][br][list=1][*][math]f\left(x\right)=\left(x-4\right)^2[/math][br][/*][*][math]g\left(x\right)=\left(x+2\right)^2+3[/math][br][/*][*][math]h\left(x\right)=\left(x-5\right)^2+2[/math][br][/*][*][math]l\left(x\right)=\left(x+1\right)^2-3[/math][br][/*][*][math]k\left(x\right)=x^2-2[/math][br][/*][/list][br]2. Wie lässt sich der Scheitelpunkt aus dem Funktionsterm [math]k\left(x\right)=\left(x-d\right)^2+y_s[/math] bestimmen?
[justify]Überpüfe deine Antworten mit dem Geogebra-Applet, indem du die Schieberegler anpasst.[br]Anschließend kannst du dir die Lösungen anzeigen lassen.[/justify]
[justify]3. Gebe zu den angegebenen Scheitelpunkte die Funktionsterme an.[br][br]1. S (3/1)[br]2. S (0/3)[br]3. S ( -2/2)[br]4. S (-1/4)[/justify]
Aufgabe 4
[justify][u][b]Arbeitsanweisung:[/b][/u][br]Untersuche nun das Schaubild der Funktion [math]l\left(x\right)=ax^2[/math], mit [math]a,x\varepsilon\mathbb{R}[/math]. [br]1. Verändere mit dem Schieberegler den Wert von a und beobachte, wie sich das Schaubild ausgehend von der Normalparabel für folgende Werte verändert:[br]a = 5; a = 0,5; d = -0,1; d = -2.[br][br]Fülle die auf dem Arbeitsblatt angegebene Wertetabelle aus. Übertrage die zugehörige Skizze der Funktionen auf dein Arbeitsblatt.[br]Hilfestellung: Beobachte, wie sich die Funktionswerte des Punktes A für unterschiedliche a verändern. Bewege dazu den Punkt A auf der Parabel entlang![/justify]
1.[br][table][tr][td]x[/td][td]-3[/td][td]-2[/td][td]-1[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]Das Schaubild entsteht [br]aus der Normalparabel [br]durch...[/td][td]Der Scheitelpunkt[br]liegt im Punkt... und [br]die Parabel ist geöffnet[br]nach...[/td][/tr][tr][td][math]f\left(x\right)=x^2[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]l_1\left(x\right)=5x^2[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]l_2\left(x\right)=0,5x^2[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]l_3\left(x\right)=-0,1x^2[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][math]l_4\left(x\right)=-2x^2[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table][br][br]2. Welche Bedeutung hat der Parameter a für den Verlauf des Funktionsgraphen [math]l\left(x\right)=ax^2[/math]?[br]Analysiere, wie sich das Schaubild ausgehend von der Normalparabel f(x) = [math]x^2[/math] verändert. Fülle dazu folgende Lücken aus und vervollständige die Regel.[br][u][b][br]Lückentext:[br][/b][/u][br]Der ............................der quadratischen Funktion [math]l\left(x\right)=ax^2[/math] wird Streckfaktor genannt. Die Koordinaten des Scheitelpunktes bleiben .................................[br][br][u][b]Regel:[/b][/u][br]Der Faktor a der Funktion l(x) bewirkt für verschiedene a folgendes:[br]1. a > 0:[br][br][br]2. a < 0:[br][br][br][br]3. a< -1 oder a > 1:[br][br][br][br]4. -1 < a < 1:[br][br]
Zusatzaufgaben- weitere Übungsaufgaben zu Kapitel 1
Bearbeite im Buch S. 44 Nr. 2 und 3.[br]Nutze zum Überprüfen deiner Lösung die Geogebra Dateien.[br]Bei den Übungsaufgaben kannst du selbst entscheiden, wieviele Aufgaben du rechnest. Ziel ist es, dass du das Kapitel verstanden hast und die Abschlussaufgabe selbständig lösen kannst.[br][br]
Lernerfolgskontrolle: Einstiegsaufgabe Wasserfontäne
[u][b]Wasserfontäne[/b][/u][br][br]Die folgende Parabel zeigt den Verlauf eines Wasserstrahles, der aus einem Gartenschlauch austritt.[br]Der Verlauf des Strahls hängt von seinem Austrittswinkel (der Winkel zwischen Schlauchende und Boden), der Austrittshöhe (Höhe des Schlauches über dem Boden) sowie der Austrittsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit mit der das Wasser aus dem Schlauch kommt - je nach dem wie stark der Wasserhahn aufgedreht ist) ab. Bearbeite nun die beiden folgenden Aufgaben (1. und 2.) zur Wasserfontäne.[br][br]
Die Wasserfontäne
1. Finde eine passende Parabel zur Wasserfontäne
Nutze die Schieberegler, um eine passende Funktion für die Wasserfontäne zu finden.[br]Wie lautet die passende Funktionsvorschrift für die Wasserfontäne?[br]
2. Beantworte folgende Fragen zum Funktionsterm der Wasserfontäne
[list=1][*]Der Punkt C kennzeichnet den Punkt, an dem der Wasserstrahl auf [br]den Boden trifft. Wann kommt das Wasser am Boden an? Nutze das GeoGebra-Applet, um den Punkt zu bestimmen.[/*][*]Welche Höhe erreicht die Fontäne maximal? Lies die Höhe aus dem Funktionsterm ab und überprüfe deine Lösung, indem du den Punkt C an die höchste Stelle schiebst.[/*][*]Welche Höhe hat die Wasserfontäne nach 3 sek ? Bewege dazu den Punkt C.[/*][*]Welche Auswirkung hat eine Erhöhung des Wasserdrucks auf den Funktionsterm der berechneten quadratische Funktion? [br][/*][/list]
Ende Kapitel 1: Zusatzaufgabe
Wie würde die Funktionsgleichung für die Wasserfontäne lauten, wenn der Ursprung des Koordinatensystems in dem höchsten Punkt des Wasserstrahls liegt? Überlege dir, inwieweit die Parabel verschoben werden muss. Gib die Funktionsgleichung und den Scheitelpunkt an.
Ende Kapitel 1: Weitere Zusatzaufgaben und Zeit zum Überprüfen!
Bearbeite aus dem Schulbuch (Lambacher Schweizer, Mathematik Eingangsklasse)[br] S. 44 Nr. 4 und 5. [br]Hinweis: Die Lösungen findest du im Buch auf S. 264.
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Information: Strecken und Verschieben von Parabeln