[b]Secondo Teorema di Euclide[/b] :"[i]Il quadrato costruito sull'altezza è equivalente al rettangolo avente per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa[/i]"[br][b]Passo 1[/b] : Considera il triangolo [math]ABC[/math], rettangolo in [math]A[/math], e l'altezza [math]AH[/math] relativa all'ipotenusa. [b]Passo 2[/b] : Applichiamo il Primo teorema di Euclide al triangolo [math]ABC[/math] relativamente al cateto [math]\overline{AB}[/math]. [b]Passo 3[/b] : Applichiamo il Teorema di Pitagora al triangolo [math]AHC[/math] rettangolo in [math]H[/math] per costruzione. [b]Passo 4[/b] : Il quadrato [math]BHRS[/math] è in realtà una parte del rettangolo [math]BHGD[/math]. In particolare, la differenza è il rettangolo [math]RSDG[/math] che ha per base [math]\overline{BH}[/math] e per altezza [math]\overline{SD} \cong \overline{HD} - \overline{HS}[/math]. Ma [math]\overline{HD} \cong \overline{BG} \cong \overline{BC}[/math] e [math]\overline{HS} \cong \overline{BR} \cong \overline{BH}[/math], quindi [math]\overline{SD} \cong \overline{BC} - \overline{BH}[/math] e , in definitiva [math]\overline{SD} \cong \overline{CH}[/math]. [b]Passo 5[/b] : Per differenza fra aree equivalenti, il quadrato [math]AMNH[/math] è quindi equivalente al rettangolo [math]RSGD[/math] c.v.d.