[size=150][b]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][br][/b][size=100]熱、気体、電気、磁気、いろんなものが[br]空中、空間にただよってます。[br][/size][size=100]これからベクトル場について、深めていこう。[br][/size][size=100]前回は、準備としてベクトルの微分をやった。[br]今回は、引き続き、準備としてベクトルの積分について考えてみよう。[br][br][/size][/size][b][size=150]＜土台の知識＞[/size][/b][br]・不定積分は微分の逆演算なので、[b]定数が追加[/b]される。[br]・ｆの定積分は変数ｘの幅[a,b]を決め、幅の細分×関数の和Σｆ⊿ｘの極限細分のときの積和が∫ｆdx[a,b][br]・ 積分はもともとはΣなので、和と定数倍が積分記号の外に出せる。[color=#0000ff]線形性がある[/color]。[br]・ 積分は細分した合計という演算だから、曲線を細分した合計、つまり曲線の長さも求められる。[br]・ 細分曲線の2乗Δ[sup]2[/sup]ｓ=Δ[sup]2[/sup]ｘ+Δ[sup]2[/sup]ｙの極限[size=150]は[b]d[/b][sup]2[/sup][b]s=d[/b][sup]2[/sup][b]x+d[/b][sup]2[/sup][b]y[/b][size=100]だから、[/size][/size][br]　ds=[math]\sqrt{d^2x+d^2y}=\sqrt{d^2x\left(1+\frac{d^2y}{d^2x}\right)}=\sqrt{1+\left(y'\right)^2}dx[/math] これをｘの積分区間[a,b]でSumできる。[br]・[size=100]x,yがｔの関数f(t),g([/size]t)なら、　[math]ds=\sqrt{d^2x+d^2y}=\sqrt{d^2t\left(\frac{d^2x}{d^2t}+\frac{d^2y}{d^2t}\right)}=\sqrt{\left(x'\right)^2+\left(y'\right)^2}dt[/math] と変形できる。[br]・極座標（r；θ）のｒがθの関数f(θ）なら、2点（f(θ）；θ)、(f(θ＋Δθ)；θ+Δθ）の距離は、[br]動径Δｒと回転ｒΔθを２辺とする斜辺ds=[math]\sqrt{\left(\Delta r\right)^2+\left(r\Delta\theta\right)^2}=\sqrt{\left(\left(\frac{\Delta r}{\Delta\theta}\right)^2+r^2\right)\left(\Delta\theta\right)^2}\longrightarrow\sqrt{f^2+f'^2}d\theta[/math][br][br][b][size=150]＜ベクトルの積分＞[/size][/b][br]・ベクトル不定積分は微分の逆演算なので、[b]定ベクトルが追加[/b]される。[br]・ｆの定積分は、不定積分をFとしたとき、[b]integral(a to b) f dx =[ F(x)]a b= F(b) - F(a)[br][/b]・ ベクトルを使うことで、空間の中を動く点の軌跡、つまり空間内の曲線の長さまで、[br]　積分を使えば求められるはずだね。[br][br][b][size=150]＜曲線の長さ＞[/size][/b][br]　曲線PQの長さsを求める。[br]　Pの位置ベクトルr(a),Qの位置ベクトルr(b)とすると、a,bがパラメータuの下端、上端。[br] PQのn等分の和sn=Σsqrt(⊿x[sup]2[/sup]+⊿y[sup]2[/sup]+⊿z[sup]2[/sup]) [br]　　　=Σsqrt(（⊿x/⊿u)[sup]2[/sup]+(⊿y/⊿u)[sup]2[/sup]+(⊿z/⊿u)[sup]2[/sup]) ⊿u[br]　　　　[math]→\int_a^b\sqrt{（\frac{dx}{du})^2+(\frac{dy}{du})^2+(\frac{dz}{du})^2}du＝ｓ[/math]

[color=#0000ff]（例）[/color][br]空間の中のらせんの長さを求めよう。[br]θがパラメータで、[b]r[/b]＝acosθ i + a sinθ j +b θ k = rx i+ ry j +rz kとする。[br] (a cos θ)' = -a sinθ, (a sin θ)' = a cosθ,(b θ)' = bから、[br][color=#0000ff]c=sqrt(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup])[/color] とおくと、[br]s=integral(sqrt((drx/dθ)2+(dry/dθ)2+(drz/dθ)2)、θ, 0, 2π)[br]=[math]f_0^{2\pi}\sqrt{\left(-asin\theta\right)^2+\left(acos\theta\right)^2+b^2}d\theta=f_0^{2\pi}cd\theta=c\left(2\pi-0\right)=2\pi c[/math] [br]2πの部分が変数θなら、s(θ)=cθとなるね。

[b][size=150]＜接平面と法線は外積から＞[br][/size][/b]点Rの位置ベクトル[b]ｒ[/b]が２つのパラメータu,vで決まり、Rがｘｙｚ空間にあるとすると、[br]曲面の方程式はｒ＝[b]ｒ[/b]（u,v)とかけた。[br]uを固定すればｖによる曲線になるので、各点で偏微分すれば、接ベクトル[b]ｒ[/b]uがある。[br]vを固定すればuによる曲線になるので、各点で偏微分すれば、接ベクトル[b]ｒ[/b]vがある。[br]ということは、[b]2ベクトルの外積は大きさが曲面の接平面の面積で、向きが法線[/b]になるね。[br]つまり、法線単位ベクトルはｎ=[b]ｒ[/b]u×[b]ｒ[/b]v/|[b]ｒ[/b]u×[b]ｒ[/b]v|でえられるね。[br]曲面の面積Sは、この曲面全体で接平面からの面積要素dSを動かしたものの極限で、[br]S=∫dS=∫∫|[b]ｒ[/b]u×[b]ｒ[/b]v|dudvとなるね。[br]・実際の計算をするには、パラメータをx,yに変換すれば,[br] dS=|(i + z[sub]x[/sub] j) ×(j+ z[sub]y[/sub]k)|dxdy=|-z[sub]x[/sub]i-z[sub]y[/sub]j+k | dxdy=sqrt(1+(z[sub]x[/sub])[sup]2[/sup]+(z[sub]y[/sub])[sup]2[/sup]) dxdy (dxdyは正）から[br]S=∫dS=∫∫[math]\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy[/math] の2重積分で求められるね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]放物面の面積を求めよう。[br][b]ｒ[/b]＝(u+v) [b]i[/b] + (u-v)[b] j[/b] + 2(u[sup]2[/sup]+v[sup]2[/sup]) [b]k[/b] ( u[sup]2[/sup]+v[sup]2[/sup]≦1/2) つまり、x=u+v, y=u-v, z= 2(u[sup]2[/sup]+v[sup]2[/sup])[br][b]ｒ[/b]u=i +j +4u k , [b]r [/b]v= i- j +4v k , [br][b]c[/b]=[b]ｒ[/b]u×[b]ｒ[/b]v=(4v+4u)i+(4u-4v)j+(-1-1)k=2[ 2(u+v) i + 2(u-v) j+ (-1)k]=2 (2x i + 2y j -k )[br]|[b]c[/b]| = 2sqrt(4x[sup]2[/sup]+4y[sup]2[/sup]+1)=2 sqrt(4(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])+1)[br][b]n=c/|c| [/b]= (2x i + 2y j -k )/sqrt(4(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])+1) [br]ここで変数変換しよう。[br]x=u+v, y=u-v , z= 2(u[sup]2[/sup]+v[sup]2[/sup]), u[sup]2[/sup]+v[sup]2[/sup]≦1/2 から、x[sup]2[/sup]=u[sup]2[/sup]+2uv+v[sup]2[/sup][sup][/sup], y[sup]2[/sup]=u[sup]2[/sup]-2uv+v[sup]2[/sup][sup][br][/sup]x[sup]2[/sup]+ y[sup]2[/sup]=2(u[sup]2[/sup]+v[sup]2[/sup])=z　z≦1/2*2=1。つまり、z=x[sup]2[/sup]+ y[sup]2[/sup]≦１。[br]S=∫dS=∫∫[math]\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy=\int\int_{x^2+y^2\le1}\sqrt{1+\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2}dxdy=\int\int_{x^2+y^2\le1}\sqrt{1+4\left(x^2+y^2\right)}dxdy[/math] [br]さらに、重積分の変数変換しよう。x=rcosθ、y=rsinθ , ０≦ｒ≦１、０≦θ≦2πとして、[br]ヤコビアンJ＝|{xr,xθ},{yr,yθ}|=|{cosθ, -rsinθ},{ sinθ, rcosθ}|= r　から、dxdy =J drdθ=r drdθだね。[br]S=[math]\int_0^1\sqrt{1+4r^2}rdr\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi\int_0^1\sqrt{1+4r^2}rdr=\pi\int_0^1\sqrt{1+4e^{ }}de=\pi\left[\frac{1}{4\cdot\left(\frac{1}{2}+1\right)}\left(4e+1\right)\right]_0^1=\frac{\pi}{6}\left(5\sqrt{5}-1\right)[/math] [br]（途中でさらにe=r[sup]2[/sup], de= 2rdrと変換した）[br]

（例）[br]らせん面の接平面と法線。[br][b]ｒ[/b]＝(u cosv) [b]i[/b] + (u sin v)[b] j[/b] + 4/π v [b]k [/b]つまり、x=ucos v, y=usinv, z=4/π v[br][b]ｒ[/b]u=cosv i +sinv j +0 k , [b]r [/b]v= -u sinv i + ucosv j +4/π k , [br][b]n[/b]=[b]ｒ[/b]u×[b]ｒ[/b]v=(4/π sinv)i+(-4/πcosv)j+(u)k[br]点R(x0,y0,z0)における平面の方程式は平面の任意の点をXとすると、[br][b]n[/b]・[b]XR[/b]=0だから、[br]接平面の方程式はx([b]n[/b])(x-x0)+y([b]n[/b])(y-y0) +z([b]n[/b])(z-z0)=0[br]点R(x0,y0,z0)における法線の方程式[br](x-x0)/x([b]n[/b])=(y-y0)/y([b]n[/b])=(z-z0)/z([b]n[/b])