Vale la pena fare un piccolo parallelo tra numeri complessi e vettori nel piano. Tutte e due queste quantità sono associate ad una [b]coppia [/b]di numeri reali. Per i vettori, sono definite tre operazioni di base: la [b]somma[/b], definita con la regola del parallelogramma, e due tipi di prodotto: il [b]prodotto scalare[/b], definito come prodotto dei moduli (lunghezze dei vettori) per il coseno dell'angolo compreso, e il prodotto vettoriale, definito come il prodotto dei moduli per il seno dell'angolo compreso.[br][br]Per i numeri complessi, somma e prodotto sono definiti in modo che nella formula[br][math]z^2+bz+c≡(z−z_1)(z−z_2)[/math],[br][math]b≡−z_1−z_2[/math] e [math]c\equiv z_1z_2[/math].[br][br]Somma e prodotto tra numeri complessi, sono dunque operazioni connaturate nel problema, ed esiste un solo modo naturale per definirli:[br]La somma tra [math]z:=x+iy[/math] e [math]w:=u+iv[/math] è definita come[br][b][math]z+w:=(x+y)+i(u+v)[/math][/b],[br]e il loro prodotto come[br][b][math]zw:=(x+iy)(u+iv)≡xu+i(xv+yu)+i^2yv≡(xu−yv)+i(xv+yu)[/math][/b].[br][br]Nell'ultima uguaglianza, nota che abbiamo usato [math]i^2≡−1[/math].[br][br]Vale la pena sottolineare che [u]non[/u] c'è analogia tra il prodotto tra vettori e quello tra numeri complessi:i prodotti tra vettori del piano sono numeri reali; il prodotto tra numeri complessi è ancora un numero complesso. Corrisponde quindi ad una coppia di numeri e non ad un numero solo. Invece vedremo tra poco che la somma è proprio quella cui siamo abituati per i vettori.