[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff0000]Juli 2019[/color])[/size][br][br][/right][size=85]"[color=#0000ff][i][b]Ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen[/b][/i][/color]" ist ein Artikel von [b]Walter WUNDERLICH[/b] ([b]1938[/b]) betitelt, in welchem er nachweist, dass aus den [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color] einer [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Gewebe[/b][/i][/color] erzeugt werden können. [br]Siehe [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/kBuDGYqv]Literaturverzeichnis[/url] [[b]WUNW[/b]]. [size=50]Wir haben auch eine [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/Ug7ekXH8]ältere Fassung[/url] der Beschäftigung mit diesem Thema in dieses [color=#980000][i][b]book[/b][/i][/color]-Kapitel aufgenommen. [/size][br][br]Die wesentliche Idee für den Nachweis liegt in der Beobachtung, dass die Projektion eines [color=#0000ff][i][b]einschaligen Hyperboloid[/b][/i][/color]s auf eine Ebene ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Gewebe[/b][/i][/color] aus Geraden und Kegelschnitten erzeugt: Bei der Projektion werden die erzeugenden Geraden auf Geraden projiziert; die Ebenen-Schnitte des [color=#0000ff][i][b]Hyperboloid[/b][/i][/color]s mit Ebenen durch zwei ihrer Punkte werden auf Kegelschnitte projiziert, siehe auch die Seite [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/ea7d9vb6][color=#ff7700][i][b]Hyperboloid-6-Eck[/b][/i][/color][/url].[br][b]Walter WUNDERLICH[/b] legt die aus der Geradengeometrie bekannte "[color=#ff00ff][i][b]Netzprojektion[/b][/i][/color]" zugrunde: als Ergebnis erhält man ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Netz[/b][/i][/color] aus Kreisen. In seinem Artikel werden [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Netze[/b][/i][/color] für ein [color=#38761D][i][b]Cartesisches Oval[/b][/i][/color] vorgestellt (Fig. 1, 2): einer der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegt in [math]\infty[/math], siehe auch die Seiten [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/t22ZNYaE]Cartesisches Oval mit 6-Eck[/url] und [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/Tg8ZXDvF]Cartesisches Oval mit endlichem Kreis-6-Ecknetz[/url].[br][br][b][size=100]Wir wollen die Eigenschaften der [color=#ff7700][i]2-teiligen bizirkularen Quartiken[/i][/color] und ihrer [color=#ff0000][i]Sechs-Eck-Netze[/i][/color] hier zusammenstellen:[/size][/b][br][br][color=#ff7700][i][b]2-teilige bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] erhält man für [color=#00ff00][i][b]4 konzyklische Brennpunkte[/b][/i][/color]. Diese und mit ihnen die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color][/size] besitzen 4 paarweise orthogonale [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color], einer davon ist imaginär. Mit Blick auf die MOEBIUS-Quadrik erhält man diese Kurven als zweiteiligen Schnitt mit einer 2.-ten Quadrik, siehe [math]\hookrightarrow[/math] n[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/xfhejggf]ächste Seite[/url]. [br]Zu jedem dieser [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] gibt es eine Schar von [color=#b6b6b6][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color], welche die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color][/size] einhüllen.[br]Die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color][/size] zerlegt die Ebene in zwei getrennte [color=#cc0000][i][b]Gebiete[/b][/i][/color], welche die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] enthalten, einerseits und ein [color=#980000][i][b]zusammenhängendes Gebiet [/b][/i][/color]"zwischen" den [color=#ff7700][i][b]Quartik-Ästen[/b][/i][/color] andererseits. Wir nennen dieses 2. Gebiet kurz das "[color=#980000][i][b]Innere[/b][/i][/color]" der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color]. [size=50]Das "[i][b]Innere[/b][/i]" wird in der Anschauung eigentlich zum [i]Äußeren[/i], wenn man den [color=#ff7700][i][b]Scheitel [/b][/i][b]S[/b][/color] nach rechts über den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt [/b][/i][b]F[/b][/color] hinaus bewegt! Ein Lob auf [color=#900000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon]gebra[/b][/i][/color]: es macht diese Konstruktionen mit! [/size][br]Durch jeden [color=#ff00ff][i][b]Punkt[/b][/i][/color] [color=#ff00ff][b]P[/b][/color] im [color=#980000][i][b]Inneren[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] gehen genau 6 [color=#999999][i][b]doppelt-berührende Kreise[/b][/i][/color] Diese 6 Scharen von [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color] erzeugen ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-6-Gewebe[/b][/i][/color], d.h. je drei dieser Scharen erzeugen ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Gewebe[/b][/i][/color]! [/size][i][size=50]Nebenbei: die Diagonalen dieser [color=#ff0000][b]Netze[/b][/color] gehören nicht zu den [color=#999999][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/color]! [br][/size][/i][size=85]Zu jeder [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] gehören [color=#999999][i][b]2 DB-Kreise[/b][/i][/color] durch [color=#ff00ff][b]P[/b][/color], diese beiden Kreise können sehr nahe beieinander liegen[/size][size=85]; bewegt man einen der beweglichen 6-Eck-Punkte, so können diese beiden Lösungen vertauscht werden, und das Sechs-Eck-Netz beginnt chaotisch zu werden! !! [br][br][/size](**) Nachtrag: [size=85]Die Aussage (**) ist wahrscheinlich falsch. Zu den 4 [color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color] gibt es [b]3[/b] Kreisscharen von [/size][size=85][size=85][color=#b6b6b6][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color][/size] im [i][b]Inneren[/b][/i] der [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color][/size][/size]. Durch jeden Punkt im Inneren gehen 2 der durch eine Symmetrie bestimmten [/size][size=85][size=85][size=85][color=#b6b6b6][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color][/size][/size]. Wählt man zu jeder dieser Symmtrieen einen der beiden Kreise aus, so erhält man ein [color=#ff0000][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color]. Es gibt also [math]2^3=8[/math] verschiedenen [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color][/size].[br][br][u][i]Konstruktion der[color=#999999] [b]DB-Kreise[/b][/color][/i][/u]: Zu jeder [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color], [size=50]von der [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] am Kreis [math]k_x[/math] durch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] abgesehen[/size], gehört ein [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color].[br][color=#0000ff][i][b]Dieser[/b][/i][/color] entsteht, wenn man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auszeichnet (hier [color=#00ff00][i][b]F[/b][/i][/color]) und diesen an den zur [color=#BF9000][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] gehörenden [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color] spiegelt! Die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] sind orthogonal zum [color=#BF9000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] [math]k_x[/math] durch die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]. [br]Zur jeder dieser [color=#BF9000][i][b]Symmetrien[/b][/i][/color] gehören 2 [color=#b6b6b6][i][b]Scheitelkreise[/b][/i][/color]. Mit Hilfe der [color=#6d9eeb][b]Spiegelpunkte[/b][/color] von [color=#00ff00][b]F[/b][/color] an diesen [color=#b6b6b6][i][b]Scheitelkreisen[/b][/i][/color] kann man die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] konstruieren.[br]Mit Hilfe der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] kann man die [color=#999999][i][b]DB-Kreise[/b][/i][/color] durch einen Punkt [color=#ff00ff][b]P[/b][/color] konstruieren![br]Und mit Hilfe eines [color=#0000ff][i][b]Leitkreises[/b][/i][/color], eines [color=#00ffff][i][b]beweglichen Punktes[/b][/i][/color] auf diesem und den oben genannten Eigenschaften kann man einen [color=#999999][i][b]DB-Kreis[/b][/i][/color] und einen [color=#ff7700][b]Punkt[/b][/color] der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color] konstruieren. ([size=50]Zumindest fast: die fehlenden Informationen werrden unten nachgeliefert![/size])[br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartik [/b][/i][/color]entsteht dann als [color=#ff7700][i][b]Ortskurve[/b][/i][/color] mit [icon]/images/ggb/toolbar/mode_locus.png[/icon] - diese "Konstruktion" ist sicher keine puristische [color=#9900ff][i][b]Konstruktion[/b][/i][/color] mit [color=#9900ff][i][b]Zirkel[/b][/i][/color] und [color=#9900ff][i][b]Lineal[/b][/i][/color], aber Dank [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]gebra[/b][/i][/color] kann man diese schönen Kurven erfahrbar machen.[br][/size][list][*][size=85][size=100][b]Der Konstruktion zugrunde liegen die [color=#00ff00][i]4 konzyklischen Brennpunkte F,F',F'',F'''[/i][/color] [br]und ein [color=#ff7700][i]Scheitelpunkt S[/i][/color]. [/b][/size][/size][/*][/list][size=85]Daraus lassen sich die [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color], die [color=#b6b6b6][i][b]Scheitelkreise[/b][/i][/color] und die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] konstruieren![br][br][u][i]Nachtrag fehlende Information:[/i][/u] Durch jede der in Frage stehenden [color=#BF9000][i][b]Symmetrien[/b][/i][/color] werden die [color=#00ff00][i][b]4 Brennpunkte[/b][/i][/color] in 2 symmetrisch liegende [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt-Paare[/b][/i][/color] aufgeteilt, z.B. {[color=#00ff00][b]F[/b][/color], [color=#00ff00][b]F'[/b][/color]} und [/size][size=85][size=85]{[color=#00ff00][b]F''[/b][/color], [color=#00ff00][b]F'''[/b][/color]}[/size]. Durch einen beliebigen, nicht auf [math]k_x[/math] liegenden Punkt [color=#ff00ff][b]P[/b][/color] gehen die beiden [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] [i]k[/i]([color=#ff00ff][b]P[/b][/color],[/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b] F[/b][/color], [color=#00ff00][b]F'[/b][/color][/size]) und [/size][size=85][size=85][i]k[/i]([color=#ff00ff][b]P[/b][/color],[/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b] F''[/b][/color], [color=#00ff00][b]F'''[/b][/color][/size]). Die beiden orthogonalen [i][b]Winkelhalbierenden-Richtungen[/b][/i] dieser [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] erzeugen ein (komplexes) [i][b]Vektorfeld[/b][/i]. Die [color=#ff7700][i][b]konfokalen bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] sind Lösungskurven dieses [i][b]Vektorfeldes[/b][/i].[br][u][i]Konkret[/i][/u]: die oben angezeigte [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] ist [i][b]Winkelhalbierende[/b][/i] der [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] durch die [color=#ff7700][i][b]Quartikpunkte[/b][/i][/color]. Die [color=#666666][i][b]doppeltberührenden Kreise[/b][/i][/color] sind [i][b]Winkelhalbierende[/b][/i] der [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color]. Einer der beiden [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] (hier [/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][i]k[/i]([color=#ff00ff][b]P[/b][/color],[/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b] F''[/b][/color], [color=#00ff00][b]F'''[/b][/color][/size]))[/size][/size] ist orthogonal zum zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] und geht durch den Spiegelpunkt [color=#00ffff][b]L[/b][/color] von [color=#00ff00][b]F[/b][/color] auf dem [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]. Betrachte dazu die Konstruktion oben und bewege [color=#00ffff][b]L[/b][/color].[/size][br][br]Die Konstruktion im [b]Applet[/b] oben ist gewissermaßen eine der Quintessenzen dieses [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon]gebrabooks[/b][/i][/color] über die [color=#0000ff]moebiusebene[/color]. [br]Wir betrachten dieses Applet als eine Art Gesellenstück in [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_sphere2.png[/icon]gebra[/b][/i][/color].[/size]