[br]Bislang haben wir uns mit Vektoren im Koordinatensystem mit zwei Achsen, der x- und y- Achse, beschäftigt. Dies genügt jedoch nicht, um zu beurteilen, ob sich die Fluglinien zweier Punkte im Himmel treffen. In folgender Grafik wird veranschaulicht, wie zwei Punkte [i]von unten[/i] [i]betrachtet [/i]im zweidimensionalen Koordinatensystem zu interpretieren sind.[br][br]

Um Punkte im dreidimensionalen Raum anzugeben, benötigen wir jedoch eine dritte Achse, die z-Achse. Alle drei Achsen stehen paarweise senkrecht aufeinander. Wir beschriften sie wie folgt:[br][math]x[/math]-Achse: "[color=#ff0000]rote[/color]" Achse[br][math]y[/math]-Achse: "[color=#38761d]grüne[/color]" Achse[br][math]z[/math]-Achse: "[color=#1c4587]blaue[/color]" Achse[br][br]Im folgenden Koordinatensystem sind die Positionen von Punkt [math]A[/math] und [math]B[/math] dargestellt und ihre jeweiligen Fluglinien als Geraden. Prüfen Sie durch bewegen des Koordinatensystems, ob sich ihre Flugbahnen treffen.

[br]Ein Punkt hat die Koordinaten [math]P\left(x_P\mid y_P\mid z_P\right)[/math].[br]In schwarz ist der Pfad dargestellt, den man "[i]laufen[/i]" muss, um zum Punkt [math]A[/math] zu gelangen: zuerst um [math]1[/math] Einheit in [math]x[/math]-Richtung, dann um [math]2[/math] Einheiten in [math]y[/math]-Richtung und anschliessend um [math]3[/math] Einheiten in [math]z[/math]-Richtung. Der Punkt [math]A[/math] hat somit die Koordinaten [math]A\left(1\mid2\mid3\right)[/math].

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte [math]A[/math], [math]B[/math] und [math]C[/math] im nachstehenden Koordinatensystem. Notieren Sie Ihre Lösung in OneNote.[br]

[br]Stellen Sie die Punkte [math]A[/math] bis [math]D[/math] mit Hilfe der Schieberegler dar.[br]Zur [b]Kontrolle [/b]können Sie auf den blauen Kreis links des jeweiligen Punktes klicken. [br][br][i](Hinweis: Falls der schwarze Pfad hängenbleibt: Rein- oder rauszoomen.)[/i]

[code][/code]Von einem Punkt [math]A\left(x_A\mid y_A\mid z_A\right)[/math] gelangt man zu einem Punkt [math]B\left(x_B\mid y_B\mid z_B\right)[/math] indem man[br][list][*][math]x_B-x_A[/math] Einheiten in Richtung der [math]x[/math]-Achse,[br][/*][*][math]y_B-y_A[/math] Einheiten in Richtung der [math]y[/math]-Achse,[/*][*][math]z_B-z_A[/math] Einheiten in Richtung der [math]z[/math]-Achse[/*][/list]geht. Also hat der Verbindungsvektor [math]\vec{v}[/math] zwischen den Punkten [math]A[/math] und [math]B[/math] die folgenden Koordinaten:[code][/code]

Dabei werden die Koordinaten bei einem Vektor untereinander geschrieben.[br][br][b]Beispiel[/b][br]Wie bei einem Punkt, bei dem man im Ursprung startet, kann man nun von einem Punkt, hier [math]A\left(1\mid-2\mid0\right)[/math], starten, und die Verschiebung um den Vektor [math]\vec{v}[/math] wieder als Weg "ablaufen", um zu [math]B\left(-1\mid1\mid2\right)[/math] zu gelangen. Die ist mit der dünnen schwarzen Linie dargestellt.[br]Wir berechnen den Vektor [math]\vec{v}=\vec{AB}[/math]:

Der Verbindungsvektor zwischen dem Koordinatenursprung [math]O\left(0\mid0\mid0\right)[/math] und einem Punkt [math]B\left(x_B\mid y_B\mid z_B\right)[/math] hat folgende Koordinaten:

Der Vektor [math]\vec{OB}[/math] heisst Ortsvektor des Punktes [math]B[/math]. Der Punkt [math]B[/math] und sein Ortsvektor besitzen dieselben Koordinaten. Daher kann man die Koordinaten eines Punktes bestimmen, indem man die Koordinaten seines Ortsvektors berechnet. Der Verbindungsvektor [math]\vec{AB}[/math] zwischen den Punkten [math]A[/math] und [math]B[/math] ist als Differenz der Ortsvektoren von [math]A[/math] und [math]B[/math] darstellbar:[br][math]\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}[/math]

Bestimmen Sie die angegebenen Vektoren [math]\vec{AB}[/math],[math]\vec{CD}[/math] und [math]\vec{EF}[/math] mit Hilfe der gegebenen Punkte. Notieren Sie Ihre Lösung in OneNote.

Super - Sie haben sich die Grundlagen zur Darstellung von Punkten und Vektoren im 3D-Koordinatensystem erarbeitet.[br][br]Als nächstes fragen wir uns: Wie lange ist ein solcher Vektor?[br]Sie können dazu im OneNote mit [i]T2. Betrag eines Vektors[/i] fortfahren.