-
Trokut
-
1. Kutovi
- Vršni i susjedni kutovi
- Kutovi uz presječnicu
- Kutovi s paralelnim i okomitim krakovima
-
2. Trokut
- Pojam i elementi trokuta
- Stranice i kutovi trokuta
- Nejednakost trokuta
- Vrste trokuta
- Zbroj kutova u trokutu
- Vanjski kutovi trokuta
-
3. Sukladnost
- Pojam sukladnosti trokuta
- Osnovne konstrukcije trokuta
- 1. konstrukcija trokuta
- 2. konstrukcija trokuta
- 3. konstrukcija trokuta
- 4. konstrukcija trokuta
-
4. Simetrale stranica
- Simetrala dužine - uvod
- Konstrukcija simetrale dužine
- Opisana kružnica
-
5. Simetrale kutova
- Simetrala kuta
- Konstrukcija simetrale kuta
- Upisana kružnica
- Konstrukcije nekih kutova
- Površina trokuta i polumjer upisane kružnice
-
6. Težišnice
- Težište
- Srednjica trokuta
-
7. Visine
- Visine trokuta
- Površina trokuta
- Formula za površinu trokuta
- Određivanje površine trokuta - vježba
-
8. Osobite točke
- Četiri karakteristične točke
-
9. Formule za površinu
- Heronova formula
- Površina trokuta i polumjer upisane kružnice
-
10. Impresum
- Reprint
- Autori
This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?
This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?
This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?
Trokut
Šime Šuljić, Apr 26, 2016
Svojstva trokuta, sukladnost, osobite točke trokuta, ...
Table of Contents
- Kutovi
- Vršni i susjedni kutovi
- Kutovi uz presječnicu
- Kutovi s paralelnim i okomitim krakovima
- Trokut
- Pojam i elementi trokuta
- Stranice i kutovi trokuta
- Nejednakost trokuta
- Vrste trokuta
- Zbroj kutova u trokutu
- Vanjski kutovi trokuta
- Sukladnost
- Pojam sukladnosti trokuta
- Osnovne konstrukcije trokuta
- 1. konstrukcija trokuta
- 2. konstrukcija trokuta
- 3. konstrukcija trokuta
- 4. konstrukcija trokuta
- Simetrale stranica
- Simetrala dužine - uvod
- Konstrukcija simetrale dužine
- Opisana kružnica
- Simetrale kutova
- Simetrala kuta
- Konstrukcija simetrale kuta
- Upisana kružnica
- Konstrukcije nekih kutova
- Površina trokuta i polumjer upisane kružnice
- Težišnice
- Težište
- Srednjica trokuta
- Visine
- Visine trokuta
- Površina trokuta
- Formula za površinu trokuta
- Određivanje površine trokuta - vježba
- Osobite točke
- Četiri karakteristične točke
- Formule za površinu
- Heronova formula
- Površina trokuta i polumjer upisane kružnice
- Impresum
- Reprint
- Autori
Vršni i susjedni kutovi
Vršni kutovi
Pomičite točku K i uvjerite se da su vršni kutovi uvijek jednaki!
Susjedni kutovi ili sukuti
Pomičite točku K i odgovrite koliki je zbroj susjednih kutova. Iznos upišite u polje zbroj kutova. Napomena: samo broj, bez oznake °!
Pojam i elementi trokuta
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine koje imaju zajedničke krajnje točke.
Uključi redom na jedan po jedan potvrdni okvir.
Pojam sukladnosti trokuta
Za dva trokuta kažemo da su sukladna, ako se mogu položiti jedan na drugi tako da se potpuno preklapaju.
Zadatak. Trokut s oznakom T sukladan je jednom od preostala tri trokuta. Preklapanjem treba otkriti koji je to trokut. Trokut T je nepomičan, a ostale se može pomicati i zakretati povlačenjem vrhova.
Simbol za sukladnost
Simbol za sukladnost je . Pišemo na primjer .
Simetrala dužine - uvod
Pokušaj pomicati točku T tako da njena udaljenost od obje rubne točke dužine uvijek bude jednaka. Za ponovni pokušaj klikni na ikonu za reset u desnom gornjem uglu. Nakon isprobavanja uključi potvrdni okvir Idealna crta. Riječ je o okomici kroz polovište dužine, a zove se simetrala dužine.
Dokaz da je riječ o okomici. Neka je točka M bilo koja točka tog pravca, a točka P polovište dužine AB. Trokuti APM i BPM su sukladni jer se podudaraju u svim trima stranicama. Tada su kutovi pri vrhu P međusobno sukladni, a kako su to sukuti svaki od njih je pravi kut.
Poučak
Svaka točka simetrale dužine jednako je udaljena od krajnjih točaka dužine.
Simetrala kuta
Pokušaj pomicati točku T tako da njena udaljenost od oba kraka kuta uvijek bude jednaka! Koliko je to bilo uspješno lako je vidjeti klikom na potvrdni okvir Idealna crta. Riječ je o pravcu koji nazivamo simetrala kuta.
Definicija: simetrala kuta je pravac koji prolazi vrhom kuta i dijeli taj kut na dva sukladna dijela.
Poučak
Svaka točka simetrale kuta jednako je udaljena od njegovih krakova.
Obrat poučka: Ako je neka točka ravnine jednako udaljena od krakova danog kuta, tada ona pripada simetrali tog kuta.
Težište
Težišnica trokuta je dužina koja spaja polovište stranice i nasuprotni vrh. Sjecište težišnica naziva se težište. Pomičući vrhove trokuta uvjeri se da se doista težišnice uvijek sijeku u jednoj točki.
Pitanje
U kojem omjeru težište dijeli težišnicu? Vrijedi li za sve težišnice i za bilo kakav trokut?
Odaberi alat 
pa klikni njime na vrh A i težište T, a potom na polovište P i težište T. Usporedi dobivene vrijednosti. Koliko je puta veća duljina dužine |AT| od duljine dužine |PT|? Vrijedi li to za bilo koji oblik trokuta? Vrijedi li i za druge težišnice? Provjeri na isti način.
Nadopuni: Težište dijeli težišnicu u omjeru _______ gledano od ______________ (vrha/polovišta).
pa klikni njime na vrh A i težište T, a potom na polovište P i težište T. Usporedi dobivene vrijednosti. Koliko je puta veća duljina dužine |AT| od duljine dužine |PT|? Vrijedi li to za bilo koji oblik trokuta? Vrijedi li i za druge težišnice? Provjeri na isti način.
Nadopuni: Težište dijeli težišnicu u omjeru _______ gledano od ______________ (vrha/polovišta).Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Težište dijeli težišnicu u omjeru 2 : 1 gledano od vrha.
Visine trokuta
Definicija
Visina trokuta je dužina određena vrhom trokuta i točkom u kojoj okomica iz tog vrha siječe nasuprotnu stranicu. Tu drugu točku nazivamo nožište visine. Ukoliko je trokut tupokutan, onda je nožište sjecište okomice i produžetka stranice.
Konstrukcija ortocentra
Klikni na jednu stranicu i njoj nasuprotni vrh da dobiješ pravac na kojem leži visina. 
Klikni na dobivenu okomicu i njoj odgovarajuću stranicu da dobiješ nožište visine. Napomena: ponekad se okomica i suprotna stranica sijeku u produžetku.
Spoji nožište s vrhom da dobiješ visinu (visina je dužina!). Nacrtaj i ostale visine trokuta. - Klikni na dva pravca nositelja visina i dobit ćeš točku koju nazivamo ortocentar. Pomiči vrhove točaka i uvjeri se da i treći pravac nositelj visine uvijek prolazi tom točkom.
Istraži i odgovori
- Je li ortocentar uvijek unutar trokuta, čak i ako je trokut tupokutan?
- Gdje se nalazi ortocentar ako je trokut pravokutan?
- S čime se poklapa visina na jednu katetu ako je trokut pravokutan?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Četiri karakteristične točke
Četiri karakteristične točke trokuta su:
- središte opisane kružnice
- središte upisane kružnice
- ortocentar
- težište
Eulerov pravac
Uključi potvrdni okvir Eulerov pravac. Kroz koje tri karakteristične točke prolazi?
Heronova formula
Površina trokuta ABC jednaka je ,
gdje smo sa s označili poluopseg trokuta, .
Preslik iz udžbenika Dakić, B., Elezović, N.: Matematika 1, Element
Reprint
"Reprint" izdanja iz 2007. godine
Posljednje desetljeće puno se toga izmijenilo što se tiče web tehnologije. U to vrijeme GeoGebra nije raspolagala mrežnim servisom za objavu ovakvih kolekcija nastavnih materijala, pa smo sami izrađivali i objavljivali interaktivne web stranice. Od tada je napuštena i Java u prikazu web sadržaja pa smo sve prebacili u HTML5 format.
Saving…
All changes saved
Error
A timeout occurred. Trying to re-save …
Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.