Trokut

Šime Šuljić, Apr 26, 2016

Svojstva trokuta, sukladnost, osobite točke trokuta, ...

Table of Contents

  1. Kutovi
    1. Vršni i susjedni kutovi
    2. Kutovi uz presječnicu
    3. Kutovi s paralelnim i okomitim krakovima
  2. Trokut
    1. Pojam i elementi trokuta
    2. Stranice i kutovi trokuta
    3. Nejednakost trokuta
    4. Vrste trokuta
    5. Zbroj kutova u trokutu
    6. Vanjski kutovi trokuta
  3. Sukladnost
    1. Pojam sukladnosti trokuta
    2. Osnovne konstrukcije trokuta
    3. 1. konstrukcija trokuta
    4. 2. konstrukcija trokuta
    5. 3. konstrukcija trokuta
    6. 4. konstrukcija trokuta
  4. Simetrale stranica
    1. Simetrala dužine - uvod
    2. Konstrukcija simetrale dužine
    3. Opisana kružnica
  5. Simetrale kutova
    1. Simetrala kuta
    2. Konstrukcija simetrale kuta
    3. Upisana kružnica
    4. Konstrukcije nekih kutova
    5. Površina trokuta i polumjer upisane kružnice
  6. Težišnice
    1. Težište
    2. Srednjica trokuta
  7. Visine
    1. Visine trokuta
    2. Površina trokuta
    3. Formula za površinu trokuta
    4. Određivanje površine trokuta - vježba
  8. Osobite točke
    1. Četiri karakteristične točke
  9. Formule za površinu
    1. Heronova formula
    2. Površina trokuta i polumjer upisane kružnice
  10. Impresum
    1. Reprint
    2. Autori

1.

Kutovi

  • 1. Vršni i susjedni kutovi
  • 2. Kutovi uz presječnicu
  • 3. Kutovi s paralelnim i okomitim krakovima

1.1.

Vršni i susjedni kutovi

Vršni kutovi
Pomičite točku [i]K[/i] i uvjerite se da su vršni kutovi uvijek jednaki!
Susjedni kutovi ili sukuti
Pomičite točku [i]K[/i] i odgovrite koliki je zbroj susjednih kutova. Iznos upišite u polje zbroj kutova. [b]Napomena[/b]: samo broj, bez oznake °!
– Šime Šuljić

1.2.

–

1.3.

–

2.

Trokut

  • 1. Pojam i elementi trokuta
  • 2. Stranice i kutovi trokuta
  • 3. Nejednakost trokuta
  • 4. Vrste trokuta
  • 5. Zbroj kutova u trokutu
  • 6. Vanjski kutovi trokuta

2.1.

Pojam i elementi trokuta

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine koje imaju zajedničke krajnje točke.[br]Uključi redom na jedan po jedan potvrdni okvir.
– Šime Šuljić

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

3.

Sukladnost

  • 1. Pojam sukladnosti trokuta
  • 2. Osnovne konstrukcije trokuta
  • 3. 1. konstrukcija trokuta
  • 4. 2. konstrukcija trokuta
  • 5. 3. konstrukcija trokuta
  • 6. 4. konstrukcija trokuta

3.1.

Pojam sukladnosti trokuta

Za dva trokuta kažemo da su sukladna, ako se mogu položiti jedan na drugi tako da se potpuno preklapaju.[br][b]Zadatak[/b]. Trokut s oznakom [i]T[/i] sukladan je jednom od preostala tri trokuta. Preklapanjem treba otkriti koji je to trokut. Trokut [i]T[/i] je nepomičan, a ostale se može pomicati i zakretati povlačenjem vrhova.
Simbol za sukladnost
Simbol za sukladnost je [math]\large{\cong}[/math]. Pišemo na primjer [math]\large{\triangle ABC\cong\triangle DEF}[/math].
– Šime Šuljić

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

4.

Simetrale stranica

  • 1. Simetrala dužine - uvod
  • 2. Konstrukcija simetrale dužine
  • 3. Opisana kružnica

4.1.

Simetrala dužine - uvod

Pokušaj pomicati točku [b][color=#FF0000][i]T[/i][/color][/b] tako da njena udaljenost od obje rubne točke dužine uvijek bude jednaka. Za ponovni pokušaj klikni na ikonu za reset u desnom gornjem uglu. Nakon isprobavanja uključi potvrdni okvir [b]Idealna crta[/b]. Riječ je o[b] okomici kroz polovište[/b] dužine, a zove se [i][b][color=#9900ff]simetrala dužine[/color][/b][/i].[br][br][b]Dokaz [/b]da je riječ o okomici[b].[/b] Neka je točka [i]M [/i]bilo koja točka tog pravca, a točka [i]P [/i]polovište dužine [i] AB[/i]. Trokuti [i]APM[/i] i [i]BPM[/i] su sukladni jer se podudaraju u svim trima stranicama. Tada su kutovi pri vrhu [i]P [/i]međusobno sukladni, a kako su to sukuti svaki od njih je pravi kut.
Poučak
Svaka točka simetrale dužine jednako je udaljena od krajnjih točaka dužine.
– Šime Šuljić

4.2.

–

4.3.

–

5.

Simetrale kutova

  • 1. Simetrala kuta
  • 2. Konstrukcija simetrale kuta
  • 3. Upisana kružnica
  • 4. Konstrukcije nekih kutova
  • 5. Površina trokuta i polumjer upisane kružnice

5.1.

Simetrala kuta

Pokušaj pomicati točku [b][color=#FF0000][i]T [/i][/color][/b]tako da njena udaljenost od oba kraka kuta uvijek bude jednaka! Koliko je to bilo uspješno lako je vidjeti klikom na potvrdni okvir [b]Idealna crta[/b]. Riječ je o pravcu koji nazivamo [b]simetrala kuta[/b].[br][br][b]Definicija: s[/b]imetrala kuta je pravac koji prolazi vrhom kuta i dijeli taj kut na dva sukladna dijela.
Poučak
Svaka točka simetrale kuta[b] jednako je udaljena[/b] od njegovih krakova.[br][br][b]Obrat poučka[/b]: Ako je neka točka ravnine jednako udaljena od krakova danog kuta, tada ona pripada simetrali tog kuta.
– Šime Šuljić

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

6.

Težišnice

  • 1. Težište
  • 2. Srednjica trokuta

6.1.

Težište

[b]Težišnica [/b]trokuta je[b] dužina [/b]koja spaja [b]polovište stranice [/b]i[b] nasuprotni vrh. [/b]Sjecište težišnica naziva se [b]težište[/b]. Pomičući vrhove trokuta uvjeri se da se doista težišnice uvijek sijeku u jednoj točki.
Pitanje
U kojem omjeru težište dijeli težišnicu? Vrijedi li za sve težišnice i za bilo kakav trokut?[br][br]Odaberi alat [icon]/images/ggb/toolbar/mode_distance.png[/icon] pa klikni njime na vrh [i]A[/i] i težište [i]T[/i], a potom na polovište [i]P[/i] i težište [i]T[/i]. Usporedi dobivene vrijednosti. Koliko je puta veća duljina dužine |[i]AT[/i]| od duljine dužine |[i]PT[/i]|? Vrijedi li to za bilo koji oblik trokuta? Vrijedi li i za druge težišnice? Provjeri na isti način.[br][br][b]Nadopuni: [/b]Težište dijeli težišnicu u omjeru _______ gledano od ______________ (vrha/polovišta).
– Šime Šuljić

6.2.

–

7.

Visine

  • 1. Visine trokuta
  • 2. Površina trokuta
  • 3. Formula za površinu trokuta
  • 4. Određivanje površine trokuta - vježba

7.1.

Visine trokuta

Definicija
[b]Visina[/b] trokuta je dužina određena vrhom trokuta i točkom u kojoj okomica iz tog vrha siječe nasuprotnu stranicu. Tu drugu točku nazivamo [b]nožište [/b]visine. Ukoliko je trokut tupokutan, onda je nožište sjecište okomice i produžetka stranice.
Konstrukcija ortocentra
[list=1][*][icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon] Klikni na jednu stranicu i njoj nasuprotni vrh da dobiješ pravac na kojem leži visina. [/*][*][icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] Klikni na dobivenu okomicu i njoj odgovarajuću stranicu da dobiješ [b]nožište[/b] visine. Napomena: ponekad se okomica i suprotna stranica sijeku u produžetku.[/*][*][icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon] Spoji nožište s vrhom da dobiješ visinu (visina je dužina!). Nacrtaj i ostale visine trokuta. [/*][*][icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] Klikni na dva pravca nositelja visina i dobit ćeš točku koju nazivamo [b]ortocentar[/b]. Pomiči vrhove točaka i uvjeri se da i treći pravac nositelj visine uvijek prolazi tom točkom.[/*][/list]
Istraži i odgovori
[list=1][*]Je li ortocentar uvijek unutar trokuta, čak i ako je trokut tupokutan?[/*][*]Gdje se nalazi ortocentar ako je trokut pravokutan?[/*][*]S čime se poklapa visina na jednu katetu ako je trokut pravokutan?[/*][/list]
– Šime Šuljić

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

8.

Osobite točke

  • 1. Četiri karakteristične točke

8.1.

Četiri karakteristične točke

Četiri karakteristične točke trokuta su:
[list=1][*]središte opisane kružnice [/*][*]središte upisane kružnice [/*][*]ortocentar [/*][*]težište[/*][/list]Uključi potvrdne okvire jedan po jedan, pomiči vrhove trokuta i provjeri što se dešava s karakterističnim točkama kod različitih vrsta trokuta (tupokutan, pravokutan, jadnakostraničan, ..).
Eulerov pravac
Uključi potvrdni okvir [i]Eulerov pravac. [/i]Kroz koje tri karakteristične točke prolazi?
– Šime Šuljić

9.

Formule za površinu

  • 1. Heronova formula
  • 2. Površina trokuta i polumjer upisane kružnice

9.1.

Heronova formula

Površina trokuta [i]ABC[/i] jednaka je [math]\large{P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}[/math],[br]gdje smo sa [i]s[/i] označili poluopseg trokuta, [math]\large{s=\frac{1}{2}(a+b+c)}[/math].
[br]Preslik iz udžbenika Dakić, B., Elezović, N.: Matematika 1, Element
– Šime Šuljić

9.2.

–

10.

Impresum

  • 1. Reprint
  • 2. Autori

10.1.

Reprint

"Reprint" izdanja iz 2007. godine
[br][size=100]Posljednje desetljeće puno se toga izmijenilo što se tiče web tehnologije. U to vrijeme GeoGebra nije raspolagala mrežnim servisom za objavu ovakvih kolekcija nastavnih materijala, pa smo sami izrađivali i objavljivali interaktivne web stranice. Od tada je napuštena i Java u prikazu web sadržaja pa smo sve prebacili u HTML5 format.[/size]
– Šime Šuljić

10.2.

–

Information