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Erinnerung zur Darstellung der Addition an der Zahlengeraden:[br]Die Addition [math](im\ Bild\ 2+3=5)[/math] lässt sich auffassen als[br][list][*]Zustand (Punkt) + Änderung (Pfeil) = Zustand (Punkt) '[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/ZahlPunktPfeil.png[/img][/*][br][*]Änderung (Pfeil) + Änderung (Pfeil) = Gesamtänderung (Pfeil) [br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/ZahlPfeilPfeil.png[/img][/*][/list][br]
Auch im bisher bekannten Koordinatensystem lässt sich die Addition als Zustand+Änderung [math](Punkt+Pfeil)[/math] und Änderung+Änderung [math](Pfeil+Pfeil)[/math] darstellen.[br][b]Beide sind geometrische Darstellungen der Addition zweier Vektoren.[/b][br][br]a) Erläutern Sie die beiden Darstellungen der Vektoraddition im Koordinatensystem des nachfolgenden Applets.[br]b) Notieren Sie für beide Darstellungen die Vektoraddition allgemein (mit Bezeichnern) und an einem konkreten Beispiel.[br]c) Zeichnen Sie mit dem Werkzeug Freihandzeichnung [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon] eine weitere Darstellung der [math]Pfeil+Pfeil-Deutung[/math] für das konkrete Beispiel aus b) im Koordinatensystem ein.
a) Die Vektoraddition wird durch die zwei geometrischen Deutungen dargestellt. Zum einen wird die [math]Punkt + Pfeil-Deutung[/math] durch die Punkte [math]\vec{A}[/math] und [math]\vec{B}[/math] sowie den Pfeil [math]\vec{AB}[/math] dargestellt. Der Pfeil [math]\vec{AB}[/math] geht von [math]\vec{A}[/math] aus und zeigt nach [math]\vec{B}[/math]. Die Addition beschreibt somit die [i]Änderung eines Zustandes in einen anderen[/i].[br]Zum anderen wird die [/math]Pfeil + Pfeil-Deutung[/math] durch die Pfeile [math]\vec{c}[/math], [math]\vec{d}[/math] und [math]\vec{e}[/math] dargestellt. Der Pfeil [math]\vec{d}[/math] beginnt an der Pfeilspitze von [math]\vec{c}[/math]. Die beiden Pfeile werden also "hintereinander gehängt". Der Pfeil [math]\vec{e}[/math] beginnt am Anfang von Pfeil [math]\vec{c}[/math] und endet am Ende von Pfeil [math]\vec{d}[/math]. Die Addition beschreibt somit die [i]Gesamtänderung von zwei Änderungen[/i].[br]b) [math]Punkt+Pfeil-Deutung: \vec{A}+\vec{AB}=\vec{B}[/math][br][math]Pfeil+Pfeil-Deutung: \vec{c}+\vec{d}=\vec{e}[/math][br]Beispiel: [math]\vec{A}+\vec{AB}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}=\vec{B}[/math]
[b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][color=#095EBC] Benutzerhinweise zum obigen Applet[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Verändere die Lage der beiden Punkte A und B und beobachte den Veränderungsvektor [math]\vec{AB}[/math].[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man oben rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/ggb_vollbild_icon.png[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.[br][br][br]
Wenn man einen Vektor [math]\vec{A}=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)[/math] als Punkt interpretiert, werden in GeoGebra die Koordinaten als Liste in Zeilenform notiert. [br]Anzeige und Eingabe in GeoGebra: [code]A=(1,2)[/code].[br][br]Interpretiert man den Vektor [math]\vec{v}=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)[/math] als Pfeil, so werden die Koordinaten in Spaltenform dargestellt.[br]Anzeige in GeoGebra [math]v=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)[/math].[br][br]In der Eingabezeile werden die Komponenten aber IMMER als Liste mit Komma getrennt angegeben. Die Groß- bzw. Kleinschreibung des Bezeichners entscheidet darüber, ob die Eingabe als (Vektor-)Punkt oder (Vektor-)Pfeil interpretiert wird.[br][br]Die geometrische Deutung funktioniert im Dreidimensionalen analog zum 2D-Koordinatensystem.[br]Bei der Eingabe mit einem Großbuchstaben [code]P=(1,2,3)[/code] wird der Vektor als Punkt interpretiert, bei Kleinbuchstaben [code]p=(4,6,8)[/code] wird der Vektor als Pfeil interpretiert.[br]Vektorpfeile zeichnet GeoGebra vom Ursprung ausgehend ein.
Im nachfolgenden Applet ist die [math]Punkt-Pfeil-Deutung[/math] der Vektoraddition im dreidimensionalen Koordinatensystem darstellt. [br]a) Notieren Sie die dargestellte Vektoraddition allgemein (mit den im Applet verwendeten Bezeichnern).[br]b) Konstruieren Sie vom Ursprung ausgehend die [math]Pfeil-Pfeil-Deutung[/math] der Vektoraddition für das konkrete Beispiel im Applet. [i]Tipp: Nutzen Sie die Hinweise aus der Erinnung oben.[/i]
a) [math] \vec{A}+\vec{u}=\vec{B} [/math][br]b) Für dieses Beispiel müssen noch die Pfeile vom Ursprung zum Punkt [math]\vec{A}[/math] und zum Punkt [math]\vec{B}[/math] eingezeichnet werden. Dafür können in GeoGebra entweder die Befehle [code]a=(1,2,3)[/code] und [code]b=(4,5,4)[/code] oder die Befehle [code]Vektor(A)[/code] und [code]Vektor(B)[/code] genutzt werden.
[b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][color=#095EBC] Benutzerhinweise zum obigen Applet[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Klicke auf die Kreise links neben den Vektoren [math]\vec{d}[/math] und [math]\vec{u}[/math], um die Vektorpfeile anzeigen zu lassen.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Vergleiche die Vektoren [math]\vec{d}[/math] und [math]\vec{u}[/math] links und deren unterschiedliche Darstellung rechts im Koordinatensystem.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Gib weitere Punkte und Vektorpfeile links ein und führe unterschiedliche Berechnungen aus. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man oben rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/ggb_vollbild_icon.png[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.[br]
[i][u]Quellen: [/u][br]Susanne Digel adaptiert von Jürgen Roth.[/i]