Sea el plano [math]P[/math] de donde conocemos un punto [math]A[/math] incluido en el plano, y con un vector de posición[math]\vec{a}=\left(a,b,c\right)[/math], y un vector normal [math]\vec{N}=\left(A,B,C\right)[/math]. Por ser el vector normal perpendicular al plano [math]P[/math], cualquier segmento dirigido que tenga su punto de origen en [math]A[/math] y su extremo en cualquier punto [math]R[/math] ,con vector de posición [math]\vec{r}=\left(x,y,z\right)[/math] que pertenezca a [math]P[/math], también será ortogonal a [math]\vec{N}[/math]:[br][center][math]\left(\vec{r}-\vec{a}\right)\cdot\vec{N}=0[/math][/center][center][math]\left(x-a,y-b,z-c\right)\cdot\vec{N}=0[/math][/center]A esa expresión se le conoce como ecuación normal del plano.[br]Al desarrollar este producto escalar llegaremos a la ecuación cartesiana del plano:[br][center][math]Ax+By+Cz-Aa-Bb-Cc=0[/math][/center]Si hacemos que [math]-Aa-Bb-Cc=D[/math] tenemos la siguiente ecuación:[br][center][math]Ax+By+Cz+D=0[/math][/center][br]

Sea un punto [math]A=\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math] un punto conocido del plano con vector de posición [math]\vec{a}[/math] y sea la recta [math]L[/math] de ecuación vectorial [math]\vec{l}=\vec{P}+\lambda\vec{u}[/math] que es perpendicular al plano y con vector de dirección [math]\vec{u}=\left(A,B,C\right)[/math] . Dado que la recta es perpendicular al plano, su vector de direccion sera tambien un vector normal al plano, por lo tanto se procede a obtener la ecuación normal del plano con el punto [math]A[/math] y el vector [math]\vec{u}[/math]:[br][center][math]\left(x-x_0,y-y_0,z-z_0\right)\cdot\vec{u}=0[/math][br][br][math]Ax+By+Cz+D=0[/math][/center]

Para establecer una ecuacion vectorial del plano [math]P[/math] es necesario contar, como datos, con las coordenadas de un punto [math]A[/math] que pertenezca al plano y que sirva como apoyo, y con las componentes de dos vectores [math]\vec{u}[/math] y [math]\vec{v}[/math] paralelos al plano pero no paralelos entre sí, es decir, dos vectores directores.[br][br]Si conocemos tres puntos del plano [math]A,B[/math] y [math]C[/math] podemos obtener estos vectores directores con los segmentos dirigidos [math]\overline{AB}[/math] y [math]\overline{AC}[/math]:[br][center][/center][math]\overline{AB}=B-A=\vec{u}[/math][br][br][math]\overline{AC}=C-A=\vec{v}[/math][br][br]De esta manera puede deducirse que para que cualquier punto [math]R[/math] del plano sea alcanzado por un vector de posicion, al vector de posicion del punto de apoyo [math]A[/math] puede sumársele un vector que lleve la direccion de [math]\vec{u}[/math] pero de tal magnitud que sumándole otro vector, pero ahora con la direccion de [math]\vec{v}[/math] y con un módulo adecuado, toque al punto [math]R[/math]. De tal manera llegamos a la ecuación vectorial del plano:[br][br][center][math]\vec{p}=\vec{a}+m\vec{u}+n\vec{v}\qquad;\qquad m,n\in\Re[/math][/center]