Cálculo
1. Concepto de derivada
1. Velocidad instantánea
2. Derivada en un punto
3. Rectas tangente y normal
4. Casos de tangentes
5. Derivada, tangencia, monotonía y curvatura
2. Derivabilidad en un punto (casos)
1. Discontinuidad
2. Sin una derivada lateral
3. Sin derivadas laterales
4. Derivable
5. Derivadas laterales distintas
3. Teoremas de derivabilidad
1. Teorema de Rolle
2. Teorema del Valor medio
4. Cálculo integral
1. Calculadora de integrales definidas
2. Función integral
3. Integral definida mediante particiones
5. Teorema fundamental del cálculo
1. Teorema del valor medio para integrales
2. Teorema fundamental del cálculo

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Cálculo

Alberto, Apr 3, 2022

La cosa de las derivadas y las integrales. +construcciones en https://www.epsilones.com/paginas/gg/gg-indice.html

Concepto de derivada
1. Velocidad instantánea
2. Derivada en un punto
3. Rectas tangente y normal
4. Casos de tangentes
5. Derivada, tangencia, monotonía y curvatura
Derivabilidad en un punto (casos)
1. Discontinuidad
2. Sin una derivada lateral
3. Sin derivadas laterales
4. Derivable
5. Derivadas laterales distintas
Teoremas de derivabilidad
1. Teorema de Rolle
2. Teorema del Valor medio
Cálculo integral
1. Calculadora de integrales definidas
2. Función integral
3. Integral definida mediante particiones
Teorema fundamental del cálculo
1. Teorema del valor medio para integrales
2. Teorema fundamental del cálculo

Information

Concepto de derivada

1. Velocidad instantánea
2. Derivada en un punto
3. Rectas tangente y normal
4. Casos de tangentes
5. Derivada, tangencia, monotonía y curvatura

Velocidad instantánea

Asunto Se describe gráficamente el concepto de velocidad instantánea como límite de las velocidades medias. En concreto se muestra que calcularla es equivalente a obtener la pendiente de la tangente a la gráfica del movimiento en el instante dado. Interactividad

Las casillas permiten elegir entre movimiento uniforme y uniformemente acelerado.
El deslizador controla la diferencia de tiempo entre los dos instantes considerados para calcular la velocidad media. Para t= 0 tenemos la velocidad instantánea.
El punto rojo puede moverse arrastrándolo con el ratón.

Idea Para el movimiento uniforme, es decir, con velocidad constante, el calculo de la velocidad no tiene dificultad: se divide el espacio recorrido entre el tiempo transcurrido y listo. La velocidad obtenida no depende del intervalo de tiempo que se considere. Pero en el caso del movimiento uniformemente acelerado la velocidad sí depende de los tiempos considerados. Vamos a distinguir entonces dos casos: Cuando

t es distinto de cero la diferencia e(t+

) - e(t) nos da el espacio transcurrido entre esos dos instantes. Dividiendo por

t tenemos la velocidad media. Por otra parte, ese valor también es la pendiente de la secante que une los dos puntos de la gráfica. Cuando

t se hace cero las secantes se convierten en la tangente a la gráfica de la función en (t, e(t)). Al límite de las velocidades medias, que gráficamente es la pendiente de la tangente, es a lo que se llama velocidad instantánea en t. +construcciones: Epsilones

– Alberto

1.2.

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1.3.

–

1.4.

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1.5.

–

2.

Derivabilidad en un punto (casos)

Se muestran cinco casos del estudio de la derivabilidad en un punto de una función a trozos. Para los detalles, ver Derivabilidad de funciones a trozos en https://www.epsilones.com/epsiclas/paginas/c-bach-c2/ejercicios/bach-c2-ejercicios-analisis-derivabilidad-trozos.html

1. Discontinuidad
2. Sin una derivada lateral
3. Sin derivadas laterales
4. Derivable
5. Derivadas laterales distintas

2.1.

Discontinuidad

Para los detalles, ver Derivabilidad de funciones a trozos en https://www.epsilones.com/epsiclas/paginas/c-bach-c2/ejercicios/bach-c2-ejercicios-analisis-derivabilidad-trozos.html

– Alberto

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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3.

Teoremas de derivabilidad

1. Teorema de Rolle
2. Teorema del Valor medio

3.1.

Teorema de Rolle

Asunto Interpretación gráfica del teorema de Rolle. Teorema Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el abierto (a, b). Si f(a) = f(b)

(a, b) / f'(c) = 0.

Idea Salvo el caso trivial de una función constante, en el camino de (a, f(a)) a (b, f(b)), la tangente en algún momento tiene que ponerse en horizontal. Interactividad

Con la casilla de control tg se muestra la tangente a la curva.
Moviendo el punto azul se pueden buscar las tangentes horizontales.
Para lograr que la pendiente se ponga a cero se puede afinar con las flechas (izquierda) y (derecha).

Aplicaciones

Una vez demostrada la existencia de al menos una cero mediante el teorema de Bolzano, el teorema de Rolle se usa para demostrar, en su caso, la unicidad de dicha solución.
También se utiliza para demostrar el teorema del Valor medio, del cual el de Rolle es un caso concreto.

+ construcciones: Epsilones

– Alberto

3.2.

–

4.

Cálculo integral

1. Calculadora de integrales definidas
2. Función integral
3. Integral definida mediante particiones

4.1.

Calculadora de integrales definidas

Asunto Calcular la integral definida de una función en un intervalo. Interactividad 1. En la casilla de la izquierda se escribe la función a integrar. 2. Para introducir los límites de integración hay dos métodos: a) Con la casilla Límites marcada, se introducen los límites en las casillas de entrada. b) Con la casilla Límites desmarcada, se indican los límites desplazando en el eje OX los puntos A y B.

+ construcciones: Epsilones

– Alberto

Teorema fundamental del cálculo

1. Teorema del valor medio para integrales
2. Teorema fundamental del cálculo

5.1.

Teorema del valor medio para integrales

Asunto Se enuncia el teorema y se visualiza con un ejemplo. Interactividad

Los dos puntos rojos se pueden mover arrastrándolos para definir el intervalo de integración.
La casilla de control muestra el triángulo que tiene por base el intervalo [a, b] y por altura la f(c).

Objetivo Se trata de mover el punto C para conseguir que el área bajo la gráfica de la función, que se muestra en azul, coincida con el área del rectángulo.

+construcciones: Epsilones

– Alberto

5.2.

–

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0

Cálculo

Table of Contents

Information

1.

Concepto de derivada

1.1.

Velocidad instantánea

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

2.

Derivabilidad en un punto (casos)

2.1.

Discontinuidad

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

3.

Teoremas de derivabilidad

3.1.

Teorema de Rolle

3.2.

4.

Cálculo integral

4.1.

Calculadora de integrales definidas

4.2.

4.3.

5.

Teorema fundamental del cálculo

5.1.

Teorema del valor medio para integrales

5.2.