Conociendo a los Números Complejos
Table of Contents
- ¡Arrancamos!
- ¿Quiénes son los números complejos?
- Navegando por sitios conocidos: La forma binómica
- El espejo en el Eje OX
- Salvando las distancias
- Jugamos con los números complejos
- Sumamos números complejos
- Restamos números complejos
- Multiplicamos números complejos
- Dividimos números complejos
- Representaciones
- La forma polar
- Despejar la tangente
- Una manera más sencilla de operar
- La forma trigonométrica
- Radicación de números complejos
- Aplicaciones
- Raíces cúbicas conjugadas
- Recintos imposibles. El Problema de Cardano.
- Siempre existe solución
- Movimientos en el plano
- Los conjuntos de Julia y de Mandelbrot
¿Quiénes son los números complejos?
Los números complejos son una reformulación de un concepto [b]ya conocido [/b]en cursos anteriores: los puntos en el plano cartesiano.[br] [br]En el siglo XVI, los matemáticos que estudiaban las ecuaciones cúbicas se encontraron con expresiones matemáticas incomprensibles para ellos, las raíces cuadradas de números negativos.[br][br]Para comprender este tipo de expresiones, se desarrolló una teoría matemática en la que los puntos en el plano [math]\left(a,b\right)[/math] [b]adquieren la categoría de número[/b] [math]z=\left(a,b\right)[/math] y se reescriben para poder operarlos fácilmente [math]z=\left(a,b\right)=a+bi[/math].[br][br]De este modo, se define el número [math]i[/math] como el punto en el plano [math]z=\left(0,1\right)[/math], que en notación moderna es [math]z=\left(0,1\right)=0+1i[/math].[br][br]Los números reales quedan entonces [b]como un caso particular[/b] de números complejos, si [math]r\in\mathbb{R}[/math], entonces [math]r=\left(r,0\right)=r+0i[/math].[br][br]Visualiza el siguiente vídeo hasta el minuto 6.
¿Quiénes son los números complejos?
Sumamos números complejos
Visualiza el siguiente vídeo a partir del minuto 6.
Hasta ahora, hemos sumado puntos en el plano sumando componente a componente. De esta misma manera se suman los números complejos, ya que en esencia son puntos. Gráficamente, podemos obtener la suma de dos complejos usando la Ley del Paralelogramo que conocemos para vectores.[br][br]Sitúa distintos números complejos y observa cómo se suman con el botón verde.
Cuestiones
1. Realiza y visualiza las siguientes sumas de números complejos:[br][list][*][math]\left(5+3i\right)+\left(6+4i\right)[/math],[/*][*][math]\left(-3+i\right)+\left(1-3i\right)[/math],[/*][*][math]\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\right)+\left(-\frac{3}{2}-\frac{1}{4}i\right)[/math].[/*][*][math]\left(0.5-4i\right)+\left(-1.5-i\right)[/math].[/*][/list][br]2. ¿Qué ocurre al sumar dos reales?¿Siempre resulta real?¿Puede resultar imaginario? [br]3. ¿Qué ocurre al sumar dos imaginarios puros?¿Siempre resulta imaginario puro?¿Puede resultar real?[br]4. ¿Qué ocurre al sumar real e imaginario puro?[br]5. ¿Qué ocurre al sumar dos complejos que no sean reales ni imaginarios puros? Explica el proceso.[br]6. ¿Existen dos complejos no reales ni imaginarios puros cuya suma resulta un número real?[br]7. ¿Existen dos complejos no reales ni imaginarios puros cuya suma resulta un número imaginario puro?[br]
El mecanismo utilizado en esta applet ha sido diseñado por Manuel Sada Allo.
La forma polar
Hasta ahora hemos trabajado con las formas cartesiana [math]z=\left(a,b\right)[/math] y binómica [math]z=a+bi[/math] de un número complejo. Veamos que, recordando algo de trigonometría, podemos escribir el mismo punto utilizando el módulo [math]\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}[/math] y el ángulo que separa a [math]z[/math] del semieje real positivo [math]OX[/math].[br][br]Sigue los siguientes pasos.[br]1) Utiliza la herramienta Longitud sobre el vector que une el origen con el complejo z=a+bi.[br]2) Utiliza la herramienta ángulo sobre los puntos A, O y z.[br]3) Manipula el punto z y observa las variaciones en el módulo y el ángulo.
Has podido observa que variar los parámetros a y b es tanto como cambiar el módulo y el argumento. Veámoslo al revés: variar el módulo y el argumento modifica los parámetros a y b.[br]Sigue los siguientes pasos:[br]1) Elige en punto a+bi en el primer applet y apunta su módulo y su argumento.[br]2) En el segundo applet, introduce dichos parámetros y observá qué punto a+bi obtienes.
Raíces cúbicas conjugadas
Scipcione del Ferro intuyó que en la expresión [math]\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{-121}\right)}+\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{-121}\right)}[/math] , la raíz de -121 se cancelaba.[br][br]Esto es un hecho general, es decir, si dos números complejos son complejos conjugados, entonces sus raíces cúbicas también son complejas conjugadas entre sí.[br][br]La siguiente applet muestra la posición de las raíces cúbicas de un número complejo arbitrario y su conjugado. Manipula y observa cómo las raíces cúbicas son complejas conjugadas unas de otras.