[b][size=100][size=150][br]＜割り算の商と余り＞[/size][/size][/b][br][color=#0000ff]「剰余の定理」整式P(x)を一次式(x−a)で割った余りはP(a)[/color]。[br]（理由）一次式(x-a)で割った商がQ(x)、[br]余りがrとするとP(x)=(x-a)Q(x)+rとおける。P(a)=rとなる。[br] x=aは、割る一次式の値＝０するから、p(a)で余りを求めることができた。[br][color=#0000ff]（拡張版）整式P(x)を一次式(ax+b)で割った余りはP(-b/a)。[br][/color]（理由）x=-b/aは、一次式(ax+b)の部分を０にするから、P(-b/a)が余りに等しい。[br][color=#0000ff]「因数の定理」整式P(x)が因数(x-a)を持つならP(a)=0。[br]（理由）剰余＝０になれば、わる式が因数になるから。[/color][br][color=#0000ff]（例）「[/color]整式P(x)を(x-1)で割った余りが3で、(x+1)で割った余りが1となるとき、[br] 整式P(x)を(x-1)(x+1)で割った余り」は？[br] P(1)=3,P(-1)=1だから、P(x)=ax+bとおくと、a+b=3,-a+b=1 から、b=2,a=1となる。余りは、x−２。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「整式P(x)をx[sup]2[/sup]+2x+3で割るとx+4余り、x[sup]2[/sup]+2で割ると-1余る、最小次数の整式P(x)」は？[br] P(x)を4次式(x[sup]2[/sup]+2x+3)(x[sup]2[/sup]+2)で割った余りt(x)は3次以下。[br] P(x)を割った余りはt(x)を割った余りだから、t(x)=(x[sup]2[/sup]+2)(px+q)-1=(x[sup]2[/sup]+2x+3)(ax+b)+x+4[br]　これから、(p,q,2p,2q-1)=(a,2a+b,3a+2b+1, 3b+4)係数比較から、p=a=1,b=-1, q=1。[br]　最小次数のP(x)=t(x)=px[sup]3[/sup]+qx[sup]2[/sup]+2px+2q-1=x[sup]3[/sup]+x[sup]2[/sup]+2x+1。[br][size=150][size=100][color=#0000ff]（例）[/color]「3次以上の整式P(x)=x[sup]n[/sup]-1を(x-1)[sup]3[/sup]で割った余り」は？[br]　変数変換しても余りが出せる。x-1=tとおくとP(t)=(t+1)[sup]n[/sup]-1を２次式t[sup]3[/sup]で割った余りは、[br]　tの２次以下の部分でnC2t[sup]2[/sup]+nC1tだね。[br]　この余りの式をxの式にもどそう。nC2(x-1)[sup]2[/sup]+n(x-1)=nC2x[sup]2[/sup]+(n-nP2)x-n+nC2。[br][/size][b]＜高次方程式の解法＞[/b][/size][br]因数分解を使って次元を下げる。[br]定数項の約数（÷最高次の係数の約数）を、[br]因数定理を使うことで、因数を見つける。[br]２乗、３乗を置き換えることで、次元を下げた式として扱う。[br]定数項の√などにも着目する。[br]解と係数の関係の利用。[br][color=#0000ff]（例）[/color]x³＋８＝０を解く。[br]　　　x[sup]3[/sup]+2[sup]3[/sup]=(x+2)(x[sup]2[/sup]-2x+2[sup]2[/sup])＝０からx＝−２。[br]　　さらに、ｘ[sup]2[/sup]-2x+4=0から、ｘ＝[math]1\pm\sqrt{3}i[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]P(x)=ｘ³＋x²-14x+６=０を解く。[br]　　P(2)=8+4-28+6<0 だめ。P(3)=27+9-42+6=0　[br]　　筆算で(1 1 -14 6) ÷(1 -3)=(1 4 -2)[br] P(x)=(x-3)(x[sup]2[/sup]+4x-2)=0 x=3,[math]-2\pm\sqrt{6}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]t=x[sup]2[/sup]とすると、x[sup]4[/sup]-x[sup]2[/sup]-12=0からt[sup]2[/sup]-t-12=(t＋3)(t-4)=0。[br]　　ｘ[sup]2[/sup]=4,-3。ｘ＝[math]\pm2,\pm\sqrt{3}i[/math][br]（例）t=x[sup]2[/sup]とすると、x[sup]4[/sup]+x[sup]2[/sup]+25=0から、[br] t[sup]2[/sup]+t+25=(t+5)[sup]2[/sup]-9t＝(x²+5)²-(3x)²=(x²＋3x+5)(x²-3x+5)=0。[br][math]x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4\cdot5}}{2},\frac{+3\sqrt{9-4\cdot5}}{2}=\frac{\mp3\pm\sqrt{11}i}{2}[/math]（複合任意）[br][br][b][size=150]＜N乗根と複素平面＞[/size][/b][br]複素数を極形式ｚ＝a+bi=ｒ(cosθ+sinθ i)とかくと,zは複素平面乗の点に対応する。[br]ｚ[sup]n[/sup]=1の解をfとすると、(f[sup]k[/sup])[sup]n[/sup]=f[sup]nk[/sup]=(f[sup]n[/sup])[sup]k[/sup]=1だから、f[sup]k[/sup]も解になる。[br]したがって、解は単位円をｎ等分した複素数ｎ個となる。

[size=150][size=150][b]＜３乗根＞[br][/b][/size]x³＝１の解は１,ω, ω²。ω²＋ω=-1、ω³＝１のように次元下げができる。[br][color=#0000ff]（例）[/color][math]\omega^{16}+\omega^8+\omega^4+1=\omega^{3\cdot5+1}+\omega^{3\cdot2+2}+\omega^{3+1}+1=\omega+\omega^2+\omega+1=\omega+0=\omega[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]ｘ²+x+1=0とすると、x＝ω,ω²が解となるので、[br]　ｘ²+x+1=(x-ω)(x-ω[sup]2[/sup])と分解できる。[br]　　[color=#0000ff]x²−xy+y²＝(x+ωｙ)(x+ω²y)、[br]　x²−xy+y²＝(ωx+ω²ｙ)(ω²x+ωy)のように分解[/color]できる。[br][b]＜[size=150]解と係数の関係[/size][/b][b]＞[br][/b]３次方程式ax³+bx²+cx+d=0の３解α、β、γについて、次の関係がある。[br]a(x-α)(x-β)(x-γ)を展開して、ax³+bx²+cx+d=0と同次の係数を比べると、[br][math]\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}[/math][br][/size][color=#0000ff]（例）[/color]３次の係数が１，２次の係数が−６，[br]　１つの解が2+iとなる係数が実数の３次方程式は？[br]　共役複素数2+i,2-iの和が4, 積が5から、ｘ²-4x+5を因数にもつ３次式になる。[br]　のこりの解αに対して、3解の和＝α+4=-(-6)=6となるから、α＝2。[br]　１次の係数はα(２虚数の和）＋２虚数の積＝2･4+5=13 ,[br]　 定数項は-3解の積＝-10。[math]x^3−6x^2+13x−10＝0[/math][br][color=#0000ff]（例）対称式は基本対称式で表せる。[br][/color]「実数x,y,zでx+y+z=0, x[sup]3[/sup]+y[sup]3[/sup]+z[sup]3[/sup]=3,x[sup]5[/sup]+y[sup]5[/sup]+z[sup]5[/sup]=15のとき、a=x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]の値」は？[br]xy+yz+zx=b, xyz=cとおこう。[br](x+y+z)[sup]2[/sup]=x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]+2(xy+yz+zx)だから、0=a+2b。[br]x[sup]3[/sup]+y[sup]3[/sup]+z[sup]3[/sup]-3xyz=(x+y+z)(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup]-xy+yz+zx)だから、3-3c=0。c=1[br]x[sup]5[/sup]+y[sup]5[/sup]+z[sup]5[/sup]=(x[sup]3[/sup]+y[sup]3[/sup]+z[sup]3[/sup])(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup])-{x[sup]3[/sup](y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup])+y[sup]3[/sup](x[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup])+z[sup]3[/sup](x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])}[br]15=3a-{(xy)[sup]2[/sup](x+y)+(yz)[sup]2[/sup](y+z)+(zx)[sup]2[/sup](z+x)}[br]=3a+{(xy)[sup]2[/sup](z)+(yz)[sup]2[/sup](x)+(zx)[sup]2[/sup](y)}=3a+xyz(xy+yz+zx)=3a+1b。[br]a=-2b。b=15-3a。だから、a=-2(15-3a)=-30+6a。a=30/(6-1)=6。[br][size=150][b]＜３次方程式の解の公式（参考）＞[br][/b][/size][size=150]実数係数の３次方程式[math]X^3+bX+c=0[/math] の解の公式作成する。[br][math]X^3+y^3+z^3-3Xyz=0[/math][/size]と[math]X^3+bX+c=0[/math]を同一視して、[br][math]y^3=Y,z^3=Z[/math]とおくと、[math]b^3=\left(-3yz\right)^3=-27y^3z^3[/math]より、[math]c=Y+Z,-b^3/27=-\left(\frac{b}{3}\right)^3=YZ[/math][br]この式を解と係数の関係としてみると、[br]Y,Zは２次方程式[math]t^2-ct-\left(\frac{b}{3}\right)^3＝０[/math]の解になる。[br]この２次方程式の判別式はD=[math]\left(-c\right)^2+4\frac{b^3}{27}=\frac{27c^2+4b^3}{27}[/math]で、[br]t[math]=\frac{c\pm\sqrt{D}}{2}[/math]　がY,Zになり、b,cから計算できる。[br]y,zはこのtの３乗根で計算できる。[br]一方で１の３乗根を1,ω,ω²とすると、[math]X^3+y^3+z^3-3Xyz=\left(X+y+z\right)\left(X^2+y^2+z^2-X\left(y+z\right)-yz\right)[/math][br]=[math]\left(X+y+z\right)\left(X^2-\left(y+z\right)X+y^2-yz+z^2\right)=\left(X+y+z\right)\left(X^2-\left(y+z\right)X+\left(\omega^2y+\omega z\right)\left(\omega y+\omega^2z\right)\right)[/math][br]=[math]\left(X+y+z\right)\left(X+\omega y+\omega^2z\right)\left(X+\omega^2y+\omega z\right)=0[/math]　[br]Xについて解くと、[math]X=-y-z,-ωy-ω^2z,-ω^2y-ωz[/math]だ。[br][color=#0000ff]（例）「[/color]ｘ³＋6ｘー20＝０」なら、Y,Zがｔ²＋20t−８=0の解でD/4=100＋8＝108＞０、[br]　ｔ＝-10＋6√3, -10-6√3[br] -t=pとして、p³＝（a+b√3)³=10+6√3となる整数はa=b=1となる。[br] よって、[math]-y=1+\sqrt{3},-z=1-\sqrt{3}[/math]。[br][math]X=-y-z,-ωy-ω^2z,-ω^2y-ωz=1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3},[/math][br][math]\left(1+\sqrt{3}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)+\left(1-\sqrt{3}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right),\left(1-\sqrt{3}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)+\left(1+\sqrt{3}\right)\left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)[/math][br]=[math]2,-1+\sqrt{3}i,-1-\sqrt{3}i[/math][br]　　（別解）因数定理でｘ＝２を探し、(1 0 6 -20)÷(1 -2)=1 2 10 から、[br]　　x²＋2x+10=0を解いて、[br] ２つの虚数解x=-1＋√3i ,-1ー√3iも求める。[br][br][color=#0000ff]（例）「[/color]x³ー15xー4＝０」なら、 Y,Zがｔ²+４t＋125=0の解でD/4=4ー125＝ー121<０、[br]　ｔ＝-2＋11i, -2ー11i[br] -t=pとして、p³＝（a+bi)³=2+11iとなる整数はa=2,b=1となる。[br] よって、[math]-y=2+i,-z=2-i[/math]。[br][math]X=-y-z,-ωy-ω^2z,-ω^2y-ωz=2+i+2-i,[/math][br][math]\left(2+i\right)\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\left(2-i\right)\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},\left(2+i\right)\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\left(2-i\right)\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}[/math]=[math]4,-2-\sqrt{3},-2+\sqrt{3}[/math][br]　　（別解）因数定理でｘ＝4を探し、(1 0 -15 -4)÷(1 -4)=1 4 1 から、x²＋4x+1=0を解いて、[br] 残りの実数解x=-2ー√3, -2＋√3も求める。[br][br][color=#0000ff]（例）「[/color]x³ー3x＋2＝０」なら、 Y,Zがｔ²-2t＋1=0の解でD/4=1ー1＝０、ｔ＝1,1（重複解）[br] よって、[math]-y=-1,-z=-1[/math]。[br][math]X=-y-z,-ωy-ω^2z,-ω^2y-ωz=-1-1,-\omega-\omega^2,-\omega^2-\omega=-2,1,1[/math][br]　　（別解）因数定理でｘ＝-2を探し、(1 0 -3 2)÷(1 2)=1 -2 1 から、[br]　　x²-2x+1=0を解いて、残りの解x=1,1（重複）も求める。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「実係数の３次方程式x[sup]3[/sup]ー2(α+β)x[sup]2[/sup]+(α[sup]2[/sup]+β[sup]2[/sup]+γ[sup]2[/sup])x-8√3=0の３つの複素数解α,β,γ」は？[br] 実係数だから、α+β+γ=2(α+β)、αβ+(α+β)γ=α[sup]2[/sup]+β[sup]2[/sup]+γ[sup]2[/sup]、αβγ=8√3。[br]　α+β=γ、αβ+γ[sup]2[/sup]=α[sup]2[/sup]+β[sup]2[/sup]+γ[sup]2[/sup]となり、α[sup]2[/sup]+β[sup]2[/sup]＝(α+β)[sup]2[/sup]-2αβ=γ[sup]2[/sup]-2αβ=αβ。だから、γ[sup]2[/sup]=3αβ。[br]　γ[sup]3[/sup]=3αβγ=24√3。γ=2√3=α+β。αβ=8√3/(2√3)=4　αとβはt[sup]2[/sup]-2√3t+4=0の解。[br]　t=√3±√(3-4)=√3±i（αとβ）、γ=2√3。

[size=150][b]＜３次方程式の判別式＞[br][/b][math]X^3+bX+c=0[/math][/size] の判別式D=[math](α-β)^2(β-γ)^2(γ-α)^2[/math]とすると、[br]重複解なら「＝０」になり、異なる３実数なら「正」になる。[br]３つの解をα（実数）、β=p+qi、γ=p-qiとするとき、「負」になる。[br]（確認）[br]D＝[math]\left(\beta-\gamma\right)^2\left(\alpha^2-\left(\beta+\gamma\right)\alpha+\left(\beta\cdot\gamma\right)\right)^{^2}=\left(qi\right)^2\left(\alpha^2-2p\alpha+p^2+q^2\right)^2[/math][br]=[math]-q^2\left(\left(\alpha-p\right)^2+q^2\right)^2[/math]＜０となる。[br][br][size=150][b]＜判別式を係数で表す＞[/b][size=150][math]X^3+bX+c=0[/math][/size][b] の判別式[br]D=[/b][math](α-β)^2(β-γ)^2(γ-α)^2[/math][b]=[/b][math]-\left(4b^3+27c^2\right)[/math][b][br]特にｂが3の倍数で、ｃが２の倍数のときは次のように約すと計算しやすい。[br]D/(27･4)=[/b][math]\frac{-4b^3-27c^2}{27\cdot4}=-\left(\frac{b}{3}\right)^{^3}-\left(\frac{c}{2}\right)^2[/math][br]※この値はt²-ct-(b/3)³=0の判別式を４倍して符号を逆転したものになっている。[br][/size]解と係数の関係から、対称式を利用して判別式を係数で表す。[br][math]\alpha+\beta+\gamma=0,\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b,\alpha\beta\gamma=-c[/math]となる。[br]まず、ありそうな対称式を３乗まで計算してみる。[br][math]\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\left(\alpha+\beta+\gamma\right)^2-2\left(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\right)=-2b[/math][br][math]\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=\left(\alpha+\beta+\gamma\right)^3-3\left(\alpha\beta\left(\alpha+\beta\right)+\beta\gamma\left(\beta+\gamma\right)+\gamma\alpha\left(\gamma+\alpha\right)\right)-6\alpha\beta\gamma=-3\left(-\alpha\beta\gamma-\beta\gamma\alpha-\gamma\alpha\beta\right)-6\alpha\beta\gamma=3\alpha\beta\gamma[/math][br][math]\left(\alpha\beta\right)^3+\left(\beta\gamma\right)^3+\left(\gamma\alpha\right)^3=\left(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\right)^3+3\alpha\beta\gamma\left(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\right)-6\left(\alpha\beta\gamma\right)^2=b^3+\left(3\cdot3-6\right)c^2=b^3+3c^2[/math][br]すると、[br][math]D=\left(\alpha-\beta\right)^2\left(\beta-\gamma\right)^2\left(\gamma-\alpha\right)^2=\left(\left(\alpha+\beta\right)^2-4\alpha\beta\right)\left(\left(\beta+\gamma\right)^2-4\beta\gamma\right)\left(\left(\gamma+\alpha\right)^2-4\gamma\alpha\right)[/math][br]=[math]\left(\gamma^2-4a\beta\right)\left(\alpha^2-4\beta\gamma\right)\left(\beta^2-4\gamma\alpha\right)=\left(\alpha\beta\gamma\right)^2-4^3\left(\alpha\beta\gamma\right)^2+4^2\alpha\beta\gamma\left(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\right)-4\left(\left(\alpha\beta\right)^3+\left(\beta\gamma\right)^3+\left(\gamma\alpha\right)^3\right)[/math][br]=[math]\left(1-64\right)\left(-c\right)^2+16\cdot3\left(-c\right)^2-4\left(b^3+3c^2\right)=\left(-63+48-12\right)c^2-4b^3=-27c^2-4b^3=-\left(4b^3+27c^2\right)[/math][br][br][color=#0000ff]（例）[/color]ｘ³−6ｘ-20=0なら、D/27･4=-((-6/3)³+(-20/2)²)=-108<０から１実数と虚数解。[br]　　　ｘ³-15ｘ-4=0なら、D/27･4=-((-15/3)³+(-4/2)²)=-(-121)=121>０から3実数解。[br]　　　ｘ³−3 x+2=0なら、D/27･4=-((-3/3)³+(2/2)²)=-(-1+1)=０から重複解と１実数解。 [br][br][color=#0000ff]（例) [/color]「f(x)=ｘ[sup]3[/sup]＋(a-1)ｘ[sup]2[/sup]＋(a-3)ｘ-2a+3=0が重複解をもつときのaの値と重複解」は？[br] f(1)=1+a-1+a-3-2a+3=0からx=1が解。係数分離で割り算する。 (1,a-1,a-3,-2a+3)÷(1,-1)=(1,a,2a-3)から、g(x)=x[sup]2[/sup]+ax+2a-3=0とx=1の関係を調べる。g(1)=1+a+2a-3=3a-2=0。a=2/3のときは重複解はx=1。[br]g=0がx=1以外の重複解x=-a/2を持つにはD=a[sup]2[/sup]-4(2a-3)=a[sup]2[/sup]-8a+12=(a-2)(a-6)=0。[br]a=2なら重複解はx=-1,a=6なら重複解はx=-3。[br][color=#0000ff]（例) [/color]「aが１より大のとき、f(x)=ｘ[sup]3[/sup]ー(a+4)ｘ[sup]2[/sup]＋(4a+3)ｘ-3a<0解」は？[br]f(1)=1-(a+4)+(4a+3)-3a=0 。係数分離で割り算する。 (1,-a-4,4a+3,-3a)÷(1,-1)=(1,-a-3,3a)の[br]商のg(x)=x[sup]2[/sup]-(a+3)x+3aでg(3)=9-3a-9+3a=0から、g(x)=(x-3)(x-a)。結局、f(x)=(x-1)(x-3)(x-a)。[br]aと1,3との大小関係でｘ軸に対する位置関係が変わるので、不等式の解も変わるね。[br]aが１より大だから、解はｘが１未満。また、a≠３ならaと３の間も解。

[b][size=150]＜４次方程式の単純化＞[/size][/b][br]・お決まりのx[sup]2[/sup]=tの置き換えなど、共通部分の置き換えを意識しよう。[br]・因数分解、または因数定理を意識してみよう。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「ｘ[sup]4[/sup]+x[sup]2[/sup]+1=0の解」は？[br]　ｘ[sup]2[/sup]=tとおくと、t[sup]2[/sup]+t+1[sup]2[/sup]=(t+1)[sup]2[/sup]-t=(t+1)[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup]=(t+1+x)(t+1-x)=(x[sup]2[/sup]+x+1)(x[sup]2[/sup]-x+1)=0[br] これで、２つの２次式の積＝０になった。x=[math]\frac{\pm1\mp\sqrt{1-4}}{2}=\frac{\pm1\mp\sqrt{3}i}{2}[/math](複合任意）[br][color=#0000ff]（例）[/color]「ｘ[sup]4[/sup]-8x[sup]2[/sup]+4=0の解」は？[br]　ｘ[sup]2[/sup]=tとおくと、t[sup]2[/sup]-8t+2[sup]2[/sup]=(t-2)[sup]2[/sup]-4t=(t-2)[sup]2[/sup]-(2x)[sup]2[/sup]=(t-2+2x)(t-2-2x)=(x[sup]2[/sup]+2x-2)(x[sup]2[/sup]-2x-2)=0[br] これで、２つの２次式の積＝０になった。x=[math]\pm1\mp\sqrt{1+2}=\pm1\mp\sqrt{3}[/math](複合任意）[br][color=#0000ff]（例）[/color]「(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3の解」は?[br] x[sup]2[/sup]+5x=tとおくと、(t+4)(t+6)-3=t[sup]2[/sup]+10t+21=(t+3)(t+7)=(x[sup]2[/sup]+5x+3)(x[sup]2[/sup]+5x+7)=0[br] これで、２つの２次式の積＝０になった。x=[math]\frac{-5\pm\sqrt{25-12}}{2},\frac{-5\pm\sqrt{25-28}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{2},\frac{-5\pm\sqrt{3}i}{2}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]「2x[sup]4[/sup]-9x[sup]3[/sup]-x[sup]2[/sup]-9x+2=0の解」は？[br]　　係数の対称性に目をつけて、x+1/x=tとおくと、x[sup]2[/sup]+1/x[sup]2[/sup]=t[sup]2[/sup]-2[br] x=0が解でないから、左辺をx[sup]2[/sup]で割ると2(x[sup]2[/sup]+1/x[sup]2[/sup])-9(x+1/x)-1=2(t[sup]2[/sup]-2)-9t-1=2t[sup]2[/sup]-9t-5=(2t+1)(t-5)=0[br] (2t+1)(t-5)=(2x+2/x+1)(x+1/x-5)=(2x[sup]2[/sup]+x+2)(x[sup]2[/sup]-5+1)＝0[br]これで、２つの２次式の積＝０になった。x=[math]\frac{-1\pm\sqrt{1-16}}{4},\frac{5\pm\sqrt{25-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{15}i}{4},\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]「x[sup]4[/sup]-2x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup]-2x+1=0の解ｘ」は？[br]両辺をx2で割ると、x[sup]2[/sup]-2x+3-2/x+1/x[sup]2[/sup]=0。[br]係数に対称性があるので、[math]y=x+\frac{1}{x}[/math]とおこう。[math]y^2-2=x^2+\frac{1}{x^2}[/math]　となるから、[br]P(x)=x[sup]2[/sup]+1/x[sup]2 [/sup]- 2(x+1/x) +3 = y[sup]2[/sup]-2 +(-2y)+3=(y-1)[sup]2[/sup]=0 y=1=x+1/xとなる。x[sup]2[/sup]-x+1=0の解はx=[math]\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}[/math][br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「３で割った余りが１の自然数nに対して、P=(x-1)(x[sup]3n[/sup]-1)がQ=(x[sup]3[/sup]-1)(x[sup]n[/sup]-1)で割り切れる」理由は？[br] P=(x-1)((x[sup]n[/sup])[sup]3[/sup]-1)=(x-1)(x[sup]n[/sup]-1)(x[sup]2n[/sup]+x[sup]n[/sup]+1)、Q=(x-1)(x[sup]2[/sup]+x+1)(x[sup]n[/sup]-1)だから、[br]p(x)=x[sup]2n[/sup]+x[sup]n[/sup]+1がq(x)=x[sup]2[/sup]+x+1で割り切れればよい。[br]q(x)=0の解ω,ω[sup]2[/sup]はr(x)=x[sup]3[/sup]-1=(x-1)(x[sup]2[/sup]+x+1)=0の解でもある。だから、x[sup]3[/sup]=1の次元下げができるね。[br]x=ω,ω[sup]2[/sup]はn≡1(mod3)ならば、x[sup]2n[/sup]≡x[sup]2[/sup], x[sup]n[/sup]≡x(mod3)から、p(x)=x[sup]2n[/sup]+x[sup]n[/sup]+1≡x[sup]2[/sup]+x+1(mod3)となる。[br]p(ω)=0,p(ω[sup]2[/sup])=0だから、p(x)は(x-ω)と(x-ω[sup]2[/sup])を因数に持つので、その積q(x)で割り切れる。