Mache dir die folgenden Besonderheiten mit Hilfe der Animation klar:[br][list][*]Die e-Funktion [math]f\left(x\right)=e^x[/math] und die natürliche Logarithmusfunktion [math]g\left(x\right)=ln(x)[/math] heben sich gegenseitig auf. (Damit gilt: [math]a^x=e^{ln\left(a\right)\cdot x}[/math] und [math]1=ln\left(e^{\left(1\right)}\right)[/math] bzw. allgemein für positive x: [math]f(g(x))=g(f(x))=x[/math]).[br]Hierdurch können wir jede beliebige positive Basis mit Hilfe der e-Funktion und dem natürlichen Logarithmus darstellen. [/*][*]Beim Ableiten von Exponentialfunktionen verwenden wir die Darstellung mit der eulerschen Zahl und benutzen hierbei die Kettenregel. Daher kommt der ln als Zahlfaktor nach vorne. [/*][*]Das Argument des natürlichen Logarithmus heist hier [b][i]Wachstumsfaktor[/i][/b] [b][i](=a)[/i][/b] und die Zahl [i][b]ln(a) Wachstumskonstante[/b][/i]. [br]Genau dann, wenn die Wachstumskonstante negativ ist, liegt der Wert des Wachstumsfaktors zwischen 0 und 1. Dann handelt es sich bei f um eine exponentielle Abnahme. Das (rote) Schaubild von f' liegt dann überall unterhalb der x-Achse. [/*][*]Zum Schluss etwas Interessantes für Spezialisten: Für betragsmäßig kleine x ist die (blaue) Tangente an der Stelle x=0 eine gute Näherung für die Exponentialfunktion. (Bei der Funktion [math]f\left(x\right)=e^x[/math] ist beispielsweise für [math]-0,25\le x\le0,25[/math] die Gerade [math]y=x+1[/math] eine gute Näherung).[/*][/list]