Data una funzione continua [math]\large\bf y=f(x)[/math] nell'intervallo [math]\large\bf [a,+\infty[\subset D\left(f\right)[/math], si definisce integrale improprio nell'[b]intervallo illimitato[/b] [math]\large\bf [a,+\infty[[/math]:[br][br][center][math]\large\bf \int_a^{+\infty}f\left(x\right)\ dx=\lim_{t\to +\infty}\int_a^{t} f\left(x\right)\ dx[/math][/center]

[list][*]La definizione è analoga se l'intervallo è illimitato verso al [math]\large\bf -\infty[/math].[br]Nel caso di entrambi gli estremi infiniti, spezza l'integrale con la proprietà 5 o si valuta l'applicazione della proprietà 6 per funzioni simmetriche.[/*][*]Nel caso di entrambi gli estremi infiniti, spezza l'integrale con la proprietà 5 o si valuta l'applicazione della proprietà 6 per funzioni simmetriche.[/*][/list]

Per l'integrale improprio vale il concetto di [b]carattere[/b], ovvero:[br][list][*]se il limite esiste finito l'integrale improprio [b]converge[/b][/*][*]se il limite esiste ma non finito l'integrale improprio [b]diverge[/b][/*][*]se il limite non esiste l'integrale improprio è [b]indeterminato[/b].[/*][/list]

[list][*]Si possono selezionare le diverse funzioni e visualizzare il grafico[/*][*]Con lo slider è possibile modificare l'ordine di infinitesimo/infinito delle due funzioni estreme[/*][*]Con la casella di controllo "Mostra area" è possibile visualizzare graficamente l'area interessata e al contempo il valore dell'integrale improprio a fianco della relativa funzione[/*][*]Con la casella di controllo "Mostra traccia f" è possibile mostrare/nascondere il grafico completo della funzione [/*][/list]

Data una funzione continua [math]\large\bf y=f(x)[/math] nell'intervallo [math]\large\bf [a,+\infty[\subset D\left(f\right)[/math], l'integrale improprio nell'[b]intervallo illimitato[/b] [math]\large\bf [a,+\infty[[/math] converge se la funzione, per [math]\large\bf x\to +\infty[/math], è un [b]infinitesimo[/b] di [b]ordine maggiore di 1[/b], ovvero:[br][br][center][math]\large\bf \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{\frac{1}{x}}=\left[\frac{0}{0}\right]=0[/math][/center]

[list][*]Il criterio di convergenza di integrali impropri in intervalli illimitati riprende le condizioni della convergenza della serie armonica generalizzata.[/*][*]Sempre in relazione a questo criterio si deduce che se la funzione non è un infinitesimo per [math]\large\bf x\to \infty[/math], l'integrale improprio non converge. [/*][/list]