Siehe [url=https://www.geogebra.org/m/mcxn9nd9]Grundlagen Gram-Schmidt Orthogonalisierungsverfahren[/url][math]\large \mathbb{R}^{3}\nearrow[/math] [br]Version für ℝ[sup]3[/sup] Einzelschritt-Verfahren[br][br]Siehe [url=https://www.geogebra.org/m/qcq2zsfv]Gram-Schmidt Orthogonalisierungsverfahren[/url][math]\large \mathbb{C}^{n}\nearrow[/math] [br]Version für ℂ[sup]n[/sup][br][br]Die gegebenen Basis-Vektoren sind [color=#ff0000]zeilenweise [/color]in E hinterlegt. [br]Um Dim n>3 abbilden zu können werden die Vektoren als Listen geschrieben [br][br](1,1,0) ==> {{1,1,0}} - siehe Beispiel![br][br]O[sub]1[/sub]...O[sub]n[/sub] entwicklen schrittweise die Orthogonalbasis. O1 wird direkt berechnet, da nur normiert werden muss. O2 und weitere Vektoren werden mit einer UserDef-Function gs() berechnet, die die letzte Basisversion verwendet: [br][br]O[sub]n[/sub] := gs(O[sub]n-1[/sub]).[br][br]Weitere orthogonale Basisvektoren ergänzen z.B. n=5 ([size=85]Kopiervorlage[/size])[br][code]O5:=Append(O4,Simplify(gs(O4)))[/code][br][br][color=#ff0000]Beispiel:[/color][br][math]\small e1 \, := \, \left( \begin{tabular}{r}1\\1\\0\\ 0\\ \end{tabular} \right),\;e2 \, := \, \left( \begin{tabular}{r}1\\0\\1\\ 0\\ \end{tabular} \right),\; e3 \, := \, \left( \begin{tabular}{r}0\\1\\0\\ 1\\ \end{tabular} \right),\; e4 \, := \, \left( \begin{tabular}{r}0\\0\\1\\ -1\\ \end{tabular} \right) [/math][br][br]===> [b]E:={{1,1,0,0},{1,0,1,0},{0,1,0,1},{0,0,1,-1}}[/b][br][br]===> [math]O4 \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0&0\\\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{2}{\sqrt{6}}&0\\-\frac{\sqrt{3}}{6}&\frac{\sqrt{3}}{6}&\frac{\sqrt{3}}{6}&\frac{\sqrt{3}}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\end{array}\right)[/math][br][br]Beispiel:[br]===>[b] E:={{1,1,0,1},{2,1,0,1},{2,1,0,3}}[/b][br][br]===> [math]\small O3 \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&0&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{2}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&0&-\frac{1}{\sqrt{6}}\\0&-\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\end{array}\right)[/math][br]===> O4:=O3 (Übertrag für QR-Zerlegung)[br]

[quote][/quote][br]Die [b]QR-Zerlegung[/b] oder [b]QR-Faktorisierung[/b] ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und Numerik. [br]Man bezeichnet die Zerlegung einer Matrix A in das Produkt [math]A=Q\cdot R[/math] zweier Matrizen, wobei Q eine orthogonale ([math]Q\cdot Q^T=I[/math]) bzw. unitäre Matrix ([math]Q\cdot Q^{\cdot}=I[/math]) und R eine obere Dreiecksmatrix ist. [br][br](7) QR-Zerlegung![br]Gibt es eine[br](11) LQ'-Zerlegung [br]orthogalner Matrizen?[br][br]Anwendung:[br][math]A := \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)[/math] [br]===> E:=Transpose(A)[br][math]O1 \, := \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\end{array}\right) \to O2 \, := \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\\end{array}\right) \to O3 \, := \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\\frac{-\sqrt{2}}{6}&\frac{-\sqrt{2}}{6}&2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}\\\end{array}\right) [/math][br]===> [math]Q = \underset{Transpose(O3)}{O3^{T}} = \left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-\sqrt{2}}{6}\\\frac{2}{3}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-\sqrt{2}}{6}\\\frac{1}{3}&0&2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}\\\end{array}\right)[/math][br]===> [math]R:= Q^{T}\; A = \left(\begin{array}{rrr}3&0&\frac{1}{3}\\0&\sqrt{2}&0\\0&0&\frac{2}{3} \; \sqrt{2}\\\end{array}\right)[/math][br]===>[math]Q \;R = A \to \left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{6} \; \sqrt{2}\\\frac{2}{3}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{6} \; \sqrt{2}\\\frac{1}{3}&0&\frac{2}{3} \; \sqrt{2}\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}3&0&\frac{1}{3}\\0&\sqrt{2}&0\\0&0&\frac{2}{3} \; \sqrt{2}\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}2&1&0\\2&-1&0\\1&0&1\\\end{array}\right) [/math][br]