Aus der Geometrie kennen wir schon die zwei wesentlichen Symmetriearten.
Kreuzen Sie die beiden Symmetriearten an.
Bei Funktionen ist es ähnlich mit den beiden Symmetriearten.[br]Betrachten Sie nun folgende bekannte Funktion [math]f\left(x\right)=x^2[/math]
Betrachten Sie den Punkt [math]A\left(x_A;y_A\right)[/math]und [math]A'\left(x_{A'};y_{A'}\right)[/math]. Pausieren Sie die Animation, wenn nötig.[br][br]Kreuzen Sie die entsprechenden Aussagen an, die man mit Hilfe des Graphen erkennen kann.
Betrachten Sie den Punkt [math]A\left(x_A;y_A\right)[/math]und [math]A'\left(x_{A'};y_{A'}\right)[/math]. Pausieren Sie die Animation, wenn nötig.[br][br]Kreuzen Sie die entsprechenden Aussagen an, die man mit Hilfe des Graphen erkennen kann.
Allgemein gilt für eine Funktion [math]f\left(x\right)[/math] folgendes:[br][br][list=1][*]Gilt für die Funktion [math]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/math], so ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. (vgl. 1a))[/*][*]Gilt für die Funktion [math]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/math], so ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. (vgl. 1b))[/*][/list]
Untersuchen Sie die Funktion[math]f\left(x\right)=x^4[/math] auf Symmetrie.[br][br]Schreiben Sie entweder[br][br] "punktsymmetrisch", "achsensymmetrisch" oder "keines von beiden".[br][br]oder kurz: ps, as oder kvb.
Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.[br][br]Dies zeigt man wie folgt:[br][br][math]f\left(-x\right)=\left(-x\right)^4=x^4=f\left(x\right)[/math]
Untersuchen Sie die Funktion[math]f\left(x\right)=x^7[/math] auf Symmetrie.[br][br]Schreiben Sie entweder[br][br] "punktsymmetrisch", "achsensymmetrisch" oder "keines von beiden".[br][br]oder kurz: ps, as oder kvb.
Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.[br][br]Dies zeigt man wie folgt:[br][br][math]f\left(-x\right)=\left(-x\right)^7=-x^7=-f\left(x\right)[/math]
Untersuchen Sie die Funktion[math]f\left(x\right)=\frac{e^{2x}}{x^2}[/math] auf Symmetrie.[br][br]Schreiben Sie entweder[br][br] "punktsymmetrisch", "achsensymmetrisch" oder "keines von beiden".[br][br]oder kurz: ps, as oder kvb.
Die Funktion ist keines von beiden.[br][br]Dies zeigt man wie folgt:[br][br][math]f\left(-x\right)=\frac{e^{2\left(-x\right)}}{\left(-x\right)^2}=\frac{e^{2\left(-x\right)}}{\left(-x\right)^2}=\frac{e^{-2x}}{x^2}[/math] und dies kann man nicht auf [math]f\left(x\right)[/math] oder [math]-f\left(x\right)[/math] umformen.
Untersuchen Sie die Funktion[math]f\left(x\right)=\frac{x^2+4}{x^5}[/math] auf Symmetrie.[br][br]Schreiben Sie entweder[br][br] "punktsymmetrisch", "achsensymmetrisch" oder "keines von beiden".[br][br]oder kurz: ps, as oder kvb.
Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.[br][br]Dies zeigt man wie folgt:[br][br][math]f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^2+4}{\left(-x\right)^5}=\frac{x^2+4}{-x^5}=-\frac{x^2+4}{x^5}=-f\left(x\right)[/math]
Untersuchen Sie die Funktion[math]f\left(x\right)=\frac{e^x+e^{-x}}{x^8}[/math] auf Symmetrie.[br][br]Schreiben Sie entweder[br][br] "punktsymmetrisch", "achsensymmetrisch" oder "keines von beiden".[br][br]oder kurz: ps, as oder kvb.
Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.[br][br]Dies zeigt man wie folgt:[br][br][math]f\left(-x\right)=\frac{e^{\left(-x\right)}+e^{-\left(-x\right)}}{\left(-x\right)^8}=\frac{e^{-x}+e^x}{x^8}=\frac{e^x+e^{-x}}{x^8}=f\left(x\right)[/math]