[b]Satz[/b][br]Sei f eine stetige Funktion in [a; b] und differenzierbar in ]a; b[. [br]Dann gibt es mindestens eine Stelle ξ in ]a; b[ mit[br][b][math]f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} [/math] [/b] oder [math]f(b)-f(a) = f'(\xi) \cdot (b-a) [/math] [br][br][b]Geometrische Interpretation[/b][br]Es gibt mindestens ein ξ aus ]a; b[ , sodass die Tangente an der Stelle ξ parallel zur Sekante durch die Punkte (a|f(a)) und (b|f(b)) ist.[br]Die Stelle ξ ist im allgemeinen nicht der Mittelwert von a und b. [br][br][b]Aufgabe[br][/b]Verändere die Intervallgrenzen a und b so, dass eine zweite Stelle für ξ angezeigt wird.

[b]Beweis[/b][br]Verschiebe den roten [b][color=#ff0000]Punkt B[/color][/b] so weit wie möglich nach unten.[br][br]Für die Funktion [math]h(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}·(x - a)[/math] gilt: h(a) = f(a) = h(b).[br][br]Deshalb kann der Satz von Rolle angewendet werden:[br][br][math]h'(x)=\left(f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}·(x-a)\right)'=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/math][br]Es gibt ein ξ ∈ ]a; b[ mit h'(ξ) = 0, und daraus folgt die Behauptung [math]f'(\text{ξ})-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0[/math].