Permite calcular el área de un cuadrilátero en función de los lados y de un par de ángulos opuestos. Se aplica el [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/TeorCoseno.html]Teorema del coseno[/url] a los dos triángulos determinados por una diagonal. Como los cuatro ángulos suman [b]360º[/b], sus mitades suman [b]180º[/b] y [b][color=#0000ff]cos((α+γ)/2) = -cos((β+δ)/2)[/color][/b], por lo que sus cuadrados son iguales y, como era de esperar, es indiferente el par de ángulos opuestos que se elijan.[br][br]Debida al matemático alemán [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Anton_Bretschneider]Carl Anton Bretschneider[/url] (1808-1878), que la descubrió en en 1842.[br][br]Es válida para cualquier cuadrilátero simple, aunque no sea convexo. Con las convenciones adecuadas, se extiende a los cruzados.

Pueden desplazarse los vértices, cuidando de que el cuadrilátero siga siendo simple.[br][br]De ella se deduce de forma inmediata la [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Formula_Brahmagupta.html]Fórmula de Brahmagupta[/url] para el área de un cuadrilátero cíclico, pues entonces los ángulos opuestos suman 180º y el área queda:[br][br][math]S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}[/math][br][br]Se deduce que de todos los cuadriláteros que comparten las mismas longitudes de los lados, el de área máxima es el inscrito, y con independencia del orden relativo de los lados.[br][br]A partir de ésta última, haciendo d=0 se obtiene la [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Formula_Heron.html]Fórmula de Heron[/url] para el área de un triángulo:[br][br][math]S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}[/math]