Funcions elementals

Antoni Garrido Muñoz, Feb 12, 2018

Recopilació de construccions de diversos autors i alguna meva per poder treballar el tema de funcions a classe.

Table of Contents

  1. Funcions lineals. Rectes
    1. Funció afí (=funció lineal)
    2. De la fórmula a la gràfica
    3. Rectes a l'atzar
  2. Funcions quadràtiques. Paràboles.
    1. Paràboles
    2. Paràboles a l'atzar 1
    3. Paràboles a l'atzar 3
    4. Paràboles 1: y=Ax^2+Bx+c
    5. Paràboles 2: A (x-x1) (x-x2)
    6. Paràboles-3: A (x-N)^2 + M
    7. Les tres formes juntes
  3. Funcions polinòmiques
    1. Exemples de funcions polinòmiques
    2. Funció polinòmica factoritzada
    3. Multiplicitat
    4. Estudi de funcions polinòmiques
    5. Quina funció és?
  4. Funcions de proporcionalidad inversa
    1. Función de proporcionalidad inversa (de Manuel Sada)
  5. Funcions irracionals
    1. Funcions irracionals (de Manuel Sada)
  6. Funcions exponencial i logarítmica
    1. Funció exponencial i logarítmica (d'en Jaume Porta)
    2. La funció exponencial
    3. La funció logarítmica
  7. Funcions trigonomètriques
    1. Funció sinus (d'en Jaume Porta)
    2. Función seno (de Manuel Sada)
    3. Funció cosinus (d'en Jaume Porta)
    4. Función coseno (de Manuel Sada)
    5. Funció tangent (d'en Jaume Porta)
    6. Función tangent (de Manuel Sada)
    7. Sinus, cosinus i tangent
  8. Funcions inverses de les funcions trigonomètriques
    1. La funció ArcSinus
    2. La funció ArcCosinus
    3. La funció ArcTangent
  9. TRANSFORMACIONS DE FUNCIONS
    1. f(x)+ K
    2. f(x+K)
    3. K * f(x)
    4. |f(x)|= valor absolut
    5. f (K * x)
    6. Prova la teva habilitat
  10. Funcions a trossos
    1. Dos trossos
    2. Tres trossos
    3. Funcions definides a trossos
    4. Funcions definides a trossos

1.

Funcions lineals. Rectes

Funcions polinòmiques de grau zero i grau 1.

  • 1. Funció afí (=funció lineal)
  • 2. De la fórmula a la gràfica
  • 3. Rectes a l'atzar

1.1.

Funció afí (=funció lineal)

Desliza el punto azul sobre la gráfica y observa sus coordenadas:[br] [list][*]¿Qué relación hay entre ellas y la fórmula que aparece en rojo abajo a la izquierda? [br] [/*][/list]Desliza ahora el primer punto verde para modificar el valor del parámetro [i]m[/i] y observa los cambios.[br] [list][*] Describe lo que ocurre.[/*][*]¿Qué tienen en común y en qué se diferencian las gráficas de [i]f(x)=m.x+3[/i] según el valor de [i]m[/i]?[/*][/list][br]Vuelve a la gráfica inicial haciendo clic sobre el icono [i]Actualizar[/i] ([img width=21,height=22]http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/images/d9actual.jpg[/img]) y prueba a modificar el segundo parámetro ([i]n[/i])[br][br][list][*]Describe lo que ocurre.[/*][/list][br]Desliza el punto azul sobre la gráfica hasta que su primera coordenada sea 0. [br][br][list][*]¿Observas algo reseñable en su segunda coordenada? ¿Encuentras alguna explicación? [/*][*]¿Qué tienen en común y en qué se diferencian las gráficas de [i]f(x)=0'5.x+n[/i] según el valor de [i]n[/i]?[/*][/list][br]En la siguiente figura puedes jugar a buscar la función morada: cambia el valor de los parámetros [i]m[/i] y [i]n[/i] hasta que las dos gráficas coincidan. [br][br]Para volver a empezar, haz clic sobre el icono [img width=21,height=22]http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/images/d9actual.jpg[/img] de arriba a la derecha.
[url=http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/][img width=88,height=31]http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/images/cc.png[/img][/url] Creado con [url=http://www.geogebra.at/]GeoGebra[/url] por Manuel Sada Allo (Abril 2005-Agosto 2007)
– Antoni Garrido Muñoz

1.2.

–

1.3.

–

2.

Funcions quadràtiques. Paràboles.

Es tracte de veure la relació de les gràfiques de les funcions quadràtiques amb les seves equacions, els seus coeficients i els seus zeros. Una 1a construcció d'en Pep Bujosa. Les altres són d'en Jaume Porta (del 2008) que jo passo al GeoGebraTube per tal conservar-les i de no dependre del JAVA.

  • 1. Paràboles
  • 2. Paràboles a l'atzar 1
  • 3. Paràboles a l'atzar 3
  • 4. Paràboles 1: y=Ax^2+Bx+c
  • 5. Paràboles 2: A (x-x1) (x-x2)
  • 6. Paràboles-3: A (x-N)^2 + M
  • 7. Les tres formes juntes

2.1.

Paràboles

Observa les diferents propietats dels coeficients de les paràboles.[br][br]Observa també la relació que hi ha entre el discriminant i el nombre de solucions de l'equació de segon grau assiciada a la paràbola.
Clica amb el botó dret sobre el vèrtex i activa la traçada del punt.[br]Mou el punt lliscant b. Quina corba es dibuixa?
– Pep Bujosa

2.2.

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2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

3.

Funcions polinòmiques

  • 1. Exemples de funcions polinòmiques
  • 2. Funció polinòmica factoritzada
  • 3. Multiplicitat
  • 4. Estudi de funcions polinòmiques
  • 5. Quina funció és?

3.1.

Exemples de funcions polinòmiques

[color=#0B5394][size=150]Trieu un exemple de funció polinòmica desplaçant el punt lliscant de l'esquerra. Per a cada exemple, podeu tenir visible o no la fórmula, la gràfica, les arrels reals i la factorització, activant o no les caselles corresponent de la part superior.[br][br][b]Metodologia[/b][br]Aquesta és una primera presentació de les relacions que aniran sortint entre la [b]gràfica[/b], la [b]factorització[/b] i les [b]arrels reals[/b]. És convenient que es faci servir el [b]projector[/b]. És com si fóssim en un[b] laboratori[/b] i estem observant [i]el que passa[/i].[br][/size][/color]
Fixeu-vos amb la manera diferent de tallar l'eix d'abscisses segons la multipñlicitat de cada arrel.
– Pep Bujosa

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

4.

Funcions de proporcionalidad inversa

  • 1. Función de proporcionalidad inversa (de Manuel Sada)

4.1.

Función de proporcionalidad inversa (de Manuel Sada)

Desliza el punto azul sobre la gráfica y observa sus coordenadas:[br][br][list][*]¿Qué relación hay entre ellas y la fórmula que aparece en rojo junto a la gráfica? [/*][/list] Utiliza los deslizadores para modificar los valores de los parámetros [i]a[/i], [i]b[/i] y [i]c[/i] y observa los cambios.[br][br][list][*] ¿Qué tienen en común y en qué se diferencian todas las gráficas de [i]f(x)=a/(x-b)+c [/i]?[/*][*]¿De qué manera influye el signo de [i]a[/i] en la gráfica? ¿Y su valor absoluto?[/*][*]¿Qué relación hay entre los valores de [i]a,b[/i] y [i]c[/i] las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola?[/*][/list][br]En la siguiente figura puedes jugar a buscar la función morada: cambia el valor de los parámetros [i]a, b[/i] y [i]c[/i] hasta que las dos gráficas coincidan. [br][br]Para volver a empezar, haz clic sobre el icono [img width=21,height=22]http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/images/d9actual.jpg[/img]
[url=http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/][img width=88,height=31]http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/images/cc.png[/img][/url] Creado con [url=http://www.geogebra.at/]GeoGebra[/url] por Manuel Sada Allo (Abril 2005-Agosto 2007)
– Antoni Garrido Muñoz

5.

Funcions irracionals

Construccions de Manuel Sada

  • 1. Funcions irracionals (de Manuel Sada)

5.1.

Funcions irracionals (de Manuel Sada)

Desliza el punto azul sobre la gráfica y observa sus coordenadas:[br] [list][*]¿Qué relación hay entre ellas y la fórmula que aparece en rojo junto a la gráfica? [br] [/*][*]¿Cuál es el dominio de la función? o, lo que es lo mismo, ¿qué valores puede tomar la primera coordenada del punto azul? ¿Y la segunda? [br] [/*][/list]Utiliza los deslizadores para modificar el valor de los parámetros y observa los cambios.[br] [list][*]Describe, utilizando algún ejemplo, de qué modo afecta a la gráfica el valor de cada uno de los parámetros. [br] [/*][/list]En la siguiente figura puedes jugar a buscar la función morada: cambia el valor de los parámetros [i]a, b[/i] y [i]c[/i] hasta que las dos gráficas coincidan. [br][br]Para volver a empezar, haz clic sobre el icono [img width=21,height=22]http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/images/d9actual.jpg[/img] de arriba a la derecha.
[url=http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/][img width=88,height=31]http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/images/cc.png[/img][/url] Creado con [url=http://www.geogebra.at/]GeoGebra[/url] por Manuel Sada Allo (Abril 2005-Agosto 2007)
– Antoni Garrido Muñoz

6.

Funcions exponencial i logarítmica

Funció exponencial i funció logarítmica

  • 1. Funció exponencial i logarítmica (d'en Jaume Porta)
  • 2. La funció exponencial
  • 3. La funció logarítmica

6.1.

Funció exponencial i logarítmica (d'en Jaume Porta)

En aquesta construcció d'en Jaume Porta es pot veure simultàniament la construcció de la funció exponencial i de la seva inversa.[br][br]S'utilitza la propietat de que la gràfica d'una funció i la de la seva inversa són simètriques respecte la bisectriu del 1r i 3r quadrant (és a dir la recta y=x).
– Antoni Garrido Muñoz

6.2.

–

6.3.

–

7.

Funcions trigonomètriques

Sinus, Cosinus i Tangent. Per mostrar la 1a volta mostro unes construccions d'en Jaume Porta i per mostrar més de la 1a volta unes construccions d'en Manuel Sada

  • 1. Funció sinus (d'en Jaume Porta)
  • 2. Función seno (de Manuel Sada)
  • 3. Funció cosinus (d'en Jaume Porta)
  • 4. Función coseno (de Manuel Sada)
  • 5. Funció tangent (d'en Jaume Porta)
  • 6. Función tangent (de Manuel Sada)
  • 7. Sinus, cosinus i tangent

7.1.

Funció sinus (d'en Jaume Porta)

– Antoni Garrido Muñoz

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

8.

Funcions inverses de les funcions trigonomètriques

Definició, gràfica i propietats de les funció: [list] [*]ArcSinus [*]ArcCosinus [*]ArcTangent [/list]

  • 1. La funció ArcSinus
  • 2. La funció ArcCosinus
  • 3. La funció ArcTangent

8.1.

La funció ArcSinus

Aquí veureu com es construeix la gràfica de la funció inversa de la funció SINUS[br]1) Primer dibuixem tota la funció f(x)= sin(x). Veiem que no és bijectiva, així doncs...[br]2) Seleccionem un tros de la funció inicial que sigui bijectiu. L'hem anomenat g(x).[br]3) Ara construim la funció inversa d'aquesta funció fent la simetria respecte la bisectriu del 1r i 3r quadrant, és a dir la recta Y=X.
La funció ArcSinus
– Antoni Garrido Muñoz

8.2.

–

8.3.

–

9.

TRANSFORMACIONS DE FUNCIONS

  • 1. f(x)+ K
  • 2. f(x+K)
  • 3. K * f(x)
  • 4. |f(x)|= valor absolut
  • 5. f (K * x)
  • 6. Prova la teva habilitat

9.1.

f(x)+ K

[list][*]Utiliza el deslizador verde para modificar el valor de [i][b]k[/b][/i] observa los cambios.[/*][*]¿Qué relación hay entre las gráficas de [i][b]y = sen x[/b] [/i]e[i] [b]y = sen x + k[/b][/i]? ¿Por qué?[/*][/list][br]Experimenta también con las figuras siguientes:
[url=http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/][img width=88,height=31]http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/images/cc.png[/img][/url] Manuel Sada Allo (Octubre 2007)
– Antoni Garrido Muñoz

9.2.

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9.3.

–

9.4.

–

9.5.

–

9.6.

–

10.

Funcions a trossos

  • 1. Dos trossos
  • 2. Tres trossos
  • 3. Funcions definides a trossos
  • 4. Funcions definides a trossos

10.1.

Dos trossos

Analitza diferents tipus de funcions definides a trossos.
Dos trossos
– Pep Bujosa

10.2.

–

10.3.

–

10.4.

–

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