[b]Demuestre que, para cualquier triángulo [/b][math]ABC[/math][b], aunque B o C sean ángulos obtusos, [/b][math]a=bcosC+ccosB[/math][b]. Utilice la Ley de Senos para deducir la "formula de adición"[/b][br][br][math]sen\left(B+C\right)=senBcosC+senCcosB[/math]

[b]Respuesta[/b]: [br][br]Aplicando la [i]Ley de cosenos[/i] con b, obtenemos:[br][br][math]b^2=a^2+c^2-2accosB[/math][br][br]Al despejar por cosB, obtenemos:[br][br][math]cosB=\frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}[/math][br][br]Por último, al multiplicar ambos lados de la ecuación por c, obtenemos:[br][br][math]cCosB=\frac{b^2-a^2-c^2}{-2a}[/math] (I)[br][br]Aplicando la ley de cosenos con c, obtenemos:[br][br][math]c^2=a^2+b^2-2abCosC[/math][br][br]Al despejar por cosC, obtenemos:[br][br][math]CosC=\frac{c^2-a^2-b^2}{-2ab}[/math][br][br]Por último, al multiplicar ambos lados de la ecuación por b, obtenemos:[br][br][math]bCosC=\frac{c^2-a^2-b^2}{-2a}[/math] (II)[br][br]Al sumar (I) y (II) obtenemos:[br][br][math]cCosB+bCosC=\frac{-b^2+a^2+c^2-c^2+a^2+b^2}{2a}[/math][br][br]Simplificando obtenemos:[br][br][math]\frac{2a^2}{2a}=a[/math][br][br]Por lo tanto,[br][br][math]cCosB+bCosC=a[/math] (a)[br][br]ahora, utilizando la [i]Ley de Senos[/i]:[br][br][math]\frac{a}{senA}=2R\Longrightarrow a=2RsenA[/math] (b)[br][br][math]\frac{b}{senB}=2R\Longrightarrow b=2RsenB[/math] (c)[br][br][math]\frac{c}{senC}=2R\Longrightarrow c=2RsenC[/math] (d)[br][br]Reemplazando (b), (c) y (d) en (a), obtenemos:[br][br][math]2RsenA=2RsenBCosC+2RsenCCosB[/math][br][br]Sacando 2R como factor común y simplificando, obtenemos:[br][math]SenA=SenBCosC+SenCCosB[/math][br][br]y como [math]sen\left(A\right)=sen\left(B+C\right)[/math], obtenemos:[br][br][math]sen\left(B+C\right)=SenBCosC+SenCCosB[/math]

[b]En cualquier triángulo ABC, [br][br][math]a\left(senB-senC\right)+b\left(senC-senA\right)+c\left(senA-senB\right)=0[/math][br][br]Respuesta[/b]: Sea [math]a\left(senB-senC\right)+b\left(senC-senA\right)+c\left(senA-senB\right)[/math] (I)[br][br]Utilizando la [i]Ley de senos[/i] y despejando por a, b, y c (similar al Ejercicio 1), obtenemos [math]a=2RsenA[/math] [math]b=2RsenB[/math] y [math]c=2RsenC[/math]. Sustituyendo en (I) obtenemos:[br][br][math]2RsenA\left(senB-senC\right)+2RsenB\left(senC-senA\right)+2RsenC\left(senA-senB\right)[/math], factorizando por [math]2R[/math][br][math]2R\left(senA\left(senB-senC\right)+senB\left(senC-senA\right)+senC\left(senA-senB\right)\right)[/math][br][br]y notamos que todos los elementos dentro del parentesis se cancelan, resultando en:[br][math]2R\left(0\right)=0[/math][br][br]Por lo tanto, [math]a\left(senB-senC\right)+b\left(senC-senA\right)+c\left(senA-senB\right)=0[/math]

[b]En cualquier triángulo ABC, [/b][math]\left(ABC\right)=\frac{abc}{4R}[/math][b]. [/b][br][br][b]Respuesta[/b]: [br][br]Las fórmulas de áreas para un triángulo ABC utilizando senos son:[br][math]\left(ABC\right)=\frac{1}{2}absenC[/math], [math]\left(ABC\right)=\frac{1}{2}acsenB[/math] y [math]\left(ABC\right)=\frac{1}{2}bcsenA[/math]. [br][br]Observemos el siguiente triángulo inscrito en un círculo,

Adicionalmente, añadimos el punto J en el círculo y se trazan CJ y BJ. [br][br]Consideremos el [math]\left(ABC\right)[/math]. [br][br]Utilizando las fórmulas presentadas, entonces:[br][br][math]\left(ABC\right)=\frac{1}{2}bcsenA[/math]. (i)[br][br]Similar a la prueba de Ley del Seno, el ángulo J y A son congruentes.[br][br]Podemos concluir que [math]senJ=\frac{a}{2R}[/math]. Esto también implica que [math]senJ=senA[/math][br][br]Por lo tanto, [math]senJ=senA=\frac{a}{2R}[/math] (ii)[br][br]Al sustituir (ii) en (i)[br][br][math]\left(ABC\right)=\frac{1}{2}bc\frac{a}{2R}[/math].[br][br]Al simplificar[br][br][math]\left(ABC\right)=\frac{1}{2}\frac{a}{2R}bc=\frac{a}{4R}bc=\frac{abc}{4R}[/math]

[b]Sean p y q radios de dos círculos a través de A, tocando BC en B y C, respectivamente. Entonces [math]pq=R^2[/math][/b].[br][br][b]Respuesta[/b]: Observemos la siguiente figura

Notamos que [math]sen\left(B\right)=cos\left(\gamma\right)=\frac{c}{2p}[/math]. Similarmente, [math]sen\left(C\right)=cos\delta=\frac{b}{2q}[/math].[br][br]Despejando por p y q, obtenemos[br][math]p=\frac{c}{2senB}[/math] y [math]q=\frac{b}{2senC}[/math][br][br]Multiplicando p por q:[br][math]pq=\frac{bc}{4sen\left(B\right)sen\left(C\right)}[/math][br][br]Por tanto, [math]pq=R^2[/math][br][br][math]R^2=\left(\frac{b}{2senB}\right)\left(\frac{c}{2senC}\right)=pq[/math]