In der vorigen Unterrichtsstunde wurden die Graphen der Potenzfunktionen [math]f\left(x\right)=x^n[/math] für die 2 Varianten (n = positiv gerade, n = positiv ungerade) bearbeitet.[br][br]In den folgenden Animationen sollst du untersuchen, wie sich die Form der Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten in Abhängigkeit von den Parametern [i]a, d, e [/i]und [i]n[/i] verändert.[br][br]
a) Verändern Sie bei diesem Geogebra-Applet den Schieberegler für den Exponenten n der Potenzfunktionen [math]f\left(x\right)=x^n[/math] und wiederholen Sie so die Konstruktion mit Punkten der Wertetabelle (links im Bild) sowie die verschiedenen Arten der Graphen (2 Kategorien).
b) Begründen Sie welche beiden Antworten richtig sind und korrigieren Sie die falsche.
a) Bei diesem Geogebra-Applet wird die Potenzfunktion [math]f\left(x\right)=x^n[/math] um den Koeffizienten (Vorzahl) a verändert. Verändern Sie den Schieberegler für den Koeffizienten a der Funktion [math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math] [br]Zum Vergleich hast du die Grund-Potenzfunktion [math]g\left(x\right)=x^n[/math] gegeben.[br]
b) Weitere Aufgaben zum obigen Applet:[br][br]1. Stellen Sie als erstes den Schieberegler für den Exponenten n auf 3 und untersuchen Sie durch Veränderung des Schiebereglers für den Koeffizienten a die Auswirkungen auf die Potenzfunktion [math]f\left(x\right)=x^3[/math][br][br]2. Stellen Sie nun den Exponenten-Schieberegler auf ein beliebiges positives n und variieren Sie dann den Koeffizienten-Schieberegler a. [br]Wiederholen Sie dieses Vorgehen für mindestens drei verschiedene Exponenten n und beantworten Sie anschließend unten stehende Fragen.[br][br]optional:[br]3. Skizzieren Sie mit Hilfe dieses Geogebra-Applets die Graphen [math]f_1\left(x\right)=x^3[/math] , [math]f_2\left(x\right)=-x^3[/math], [math]f_3\left(x\right)=0,5\cdot x^3[/math] und [math]f_4\left(x\right)=-2\cdot x^3[/math] in ein gemeinsames Koordinatensystem. Beschriften Sie die Graphen entsprechend oder skizzieren Sie 4 Graphen in 4 verschiedenen Farben.[br][br][br][br]
c) Kreuzen Sie die je richtige Antwort an und schreiben Sie diese dann im Zuge eines Merk-Satzes je in Ihr Heft.
Sei [math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math] mit [math]a[/math] [math]\epsilon[/math] [math]\mathbb{R}[/math] (Koeffizienten-Zahl).[br]Bei a = 1 wird
Sei [math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math] mit [math]a[/math] [math]\epsilon[/math] [math]\mathbb{R}[/math] (Koeffizienten-Zahl).[br]Bei |a| > 1 wird (Bemerkung: |a| ist der Betrag von a, also der absolute Wert, z.B. kann a = 2 oder a = -2 sein, jedenfalls von ihrem absoluten Wert größer als 1)[br]
Sei [math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math] mit [math]a[/math] [math]\epsilon[/math] [math]\mathbb{R}[/math] (Koeffizienten-Zahl)[br]Bei 0 < |a| < 1 wird (Bemerkung: |a| ist der absolute Wert (Betrag) von a. Er kann z.B. 0,5 oder - 0,2 sein, jedenfalls vom absoluten Wert zwischen 0 und 1)
Sei [math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math] mit [math]a[/math] [math]\epsilon[/math] [math]\mathbb{R}[/math] (Koeffizienten-Zahl)[br]Bei a < 0 wird
a) Verändern Sie bei diesem Geogebra-Applet den Schieberegler für die Zahl e. [br]Beobachten Sie die Veränderung der Potenzfunktion [math]f\left(x\right)=x^n+e[/math][br][br]Zum Vergleich ist die Funktion [math]g\left(x\right)=x^n[/math] gegeben.[br][br]Kopiere anschließend drei Parabeln mit drei unterschiedlichen e-Werten in ein gemeinsames Koordinatensystem.[math][/math]
b) Geben Sie [math]f\left(x\right)=x^3+e[/math] für e = 1, e = -4 und e = +4 im Grafik-Menü Ihres Taschenrechners ein. [br]Erzeugen Sie die Wertetabellen für [math]x\ \epsilon[/math] [-3;3] mit Schrittweite 1. [br]Skizzieren Sie die drei Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem. [br]
c) Fassen Sie nun Ihre Erkenntnisse aus a) und b) über die Veränderung der Grundfunktion durch den Parameter e zusammen. Ergänzen Sie dazu folgende Merk-Sätze:[br]Merke: [math]f\left(x\right)=x^n+e[/math][br]e = 0 Grundfunktion[br]e > 0 ..................................[br]e < 0 ..................................[br]
Welchen Einfluss hat der Parameter e auf Potenzfunktionen der Form [math]f\left(x\right)=x^n+e[/math] ?
a) Verändern Sie bei diesem Geogebra-Applet den Schieberegler für die Zahl d. [br]Beobachten Sie die Veränderung der Potenzfunktion [math]f\left(x\right)=\left(x+d\right)^n[/math][br][br]Zum Vergleich ist die Funktion [math]g\left(x\right)=x^n[/math] gegeben.[br][math][/math]
b) Fassen Sie nun Ihre Erkenntnisse aus a) über die Veränderung der Grundfunktion durch den Parameter d zusammen. Ergänzen Sie dazu folgende Merk-Sätze und schreiben Sie diese in Ihr Heft:[br]Merke: [math]f\left(x\right)=\left(x+d\right)^n[/math][br]d = 0 Grundfunktion[br]d > 0 ..................................[br]d < 0 ..................................[br]
Welchen Einfluss hat der Parameter d auf Potenzfunktionen der Form [math]f\left(x\right)=\left(x+d\right)^n[/math] ?