Bei der Frage nach der Ableitung einer Exponentialfunktion f(x) = C · a[sup]x[/sup] (a > 0) sind wir bisher zu folgender Erkenntnis gekommen:[br][list][*]Es genügt, die Ableitung einer einzigen Stelle, vorzugsweise an der Stelle 0, zu kennen. Dann gilt an jeder anderen Stelle x: [math]f'\left(x\right)=\frac{f'\left(0\right)}{f\left(0\right)}\cdot f\left(x\right)[/math]. Der Quotient [math]k=\frac{f'\left(0\right)}{f\left(0\right)}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}[/math] ist die "Wachstumskonstante" der Funktion.[/*][*] Es genügt, die Wachstumskonstante k für eine einzige Basis a zu kennen. Dann ist [math]k'=\log_a\left(a'\right)\cdot k[/math] die Wachstumskonstante für eine beliebige andere Basis a'.[/*][/list]Es ist daher naheliegend, eine einzige "natürliche" Basis auszuzeichnen und deren Wachstumskonstante zu kennen, um alle anderen darauf zurückzuführen. Die spontane Idee, a = 1 zu wählen, erweist sich als völlig unbrauchbar (warum?). Es zeigt sich zudem, dass eine "schöne" Basis immer zu einer "krummen" Wachstumskonstante führt und umgekehrt. Es erscheint jedoch sinnvoll, die Basis so zu wählen, dass k = 1 ist, denn dann kann man jeden anderen Wachstumsfaktor direkt als Logarithmus zu dieser "natürlichen" Basis berechnen.[br][br]

Tatsächlich kann man beweisen, dass es genau eine reelle Zahl a gibt, für die [math]\lim_{h\rightarrow0}\frac{a^h-1}{h}=1[/math] ist. [br]Diese Zahl heißt [b]Eulersche Zahl [/b](benannt nach Leonard Euler, 1707-1783, schweizer Mathematiker) und wird mit dem Buchstaben [i]e[/i] bezeichnet. Sie liegt zwischen 2,718281 und 2,718282 und ist eine der wichtigsten Zahlen in der Mathematik.[br][br]Geben Sie in die Eingabezeile des obigen Applets "a = e" ein. Wichtig: Halten Sie bei der Eingabe von "e" die Alt-Taste gedrückt.[br][br]Auch dieser angezeigte Wert ist ein Näherungswert! Es zeigt sich bei genauerer Untersuchung, dass [i]e[/i] eine irrationale Zahl ist.[br][br]Die besondere Bedeutung der Zahl [i]e[/i] wird in dem Applet anschaulich erfasst. Der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer reellen Zahl [i]e[/i] mit [math]\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^h-1}{h}=1[/math] wird an dieser Stelle nicht ausgeführt.

[br][br]Wir halten fest:[br][br]Die Eulersche Zahl [i]e[/i] ist die eindeutig bestimmte reelle Zahl, für die [math]\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^h-1}{h}=1[/math] ist. [i]e[/i] ist irrational. Die ersten Stellen von [i]e[/i] lauten 2,718281828459...[br][br]Man kann zeigen, dass [i]e[/i] durch den Grenzwert [math]\lim_{h\rightarrow0}\left(1+h\right)^{^{\frac{1}{h}}}[/math] berechnet werden kann. Ein effektiveres Berechnungsverfahrfen liefert die Reihe [math]e=\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+...[/math] [br][br]Die Exponentialfunktion f(x) = e[sup]x[/sup] heißt "natürliche Exponentialfunktion". Ihre Umkehrung, der Logarithmus zur Basis e, heißt "natürlicher Logarithmus". Statt log[sub]e[/sub](x) schreibt man ln(x) ("logarithmus naturalis").[br][br]Die natürliche Exponentialfunktion ist mit ihrer Ableitung identisch: Für f(x) = e[sup]x[/sup] ist f'(x) = e[sup]x[/sup].[br][br]Die Wachstumskonstante einer Exponentialfunktion zu einer beliebigen Basis a ist k = log[sub]e[/sub](a) · 1 = ln(a).[br][br]Die Ableitung einer Exponentialfunktion zur Basis a ist f'(x) = ln(a) · f(x).[br][br]