Der Graph einer Funktion [math]f[/math] ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse,[br]wenn für alle Werte [math]x[/math] gilt: [math]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/math].[br][br]Der Ausdruck [math]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/math] heißt für den Graphen übersetzt, dass die y-Werte des Graphens links und rechts der y-Achse beide gleich sind – also z.B. [math]f\left(-2\right)=f\left(2\right)[/math]. Wenn dies für alle Werte [math]x[/math] gilt, so ist die Funktion achsensymmetrisch.[br][br]Verschiebe in der Abbildung den Schieberegler. Dir wird jeweils die Stelle [math]x[/math]und [math]-x[/math] angezeigt. Dabei kannst du beobachten, dass an diesen Stellen die roten Linien immer gleich lang sind; also die y-Werte immer den gleichen Wert besitzen.

Achsensymmetrie tritt immer dann auf, wenn alle Exponenten der Funktion [math]f[/math] gerade sind.

[br][br]Der Graph einer Funktion [math]f[/math] ist genau dann punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung [math]\left(0\left|0\right|\right)[/math], wenn für alle Werte [math]x[/math] gilt: [math]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/math](bzw. [math]-f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/math]).[br][br]Der Ausdruck [math]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/math] heißt für den Graphen übersetzt, dass die y-Werte des Graphens links und rechts der y-Achse beide gleich sind, jedoch gerade das entgegengesetzte Vorzeichen besitzen – also z.B. [math]f\left(-2\right)=-f\left(2\right)[/math]. Wenn dies für alle Werte [math]x[/math] gilt, so ist die Funktion punktsymmetrisch.[br][br]Verschiebe in der Abbildung den Schieberegler. Dir wird jeweils die Stelle [math]x[/math] und [math]-x[/math] angezeigt. Dabei kannst du beobachten, dass an diesen Stellen die roten Linien immer gleich lang sind; also die y-Werte immer den gleichen Wert besitzen, jedoch sich einmal oberhalb und einmal unterhalb der x-Achse befinden.[br][br][br]

Punktsymmetrie tritt immer dann auf, wenn alle Exponenten der Funktion [math]f[/math] ungerade sind.

Eine Funktion kann entweder achsensymmetrisch, oder punktsymmetrisch sein, oder keine Symmetrieeigenschaften aufweisen. Sie wird niemals achsensymmetrisch und punktsymmetrisch sein.[br]

(Um zu zeigen, dass mindestens immer eine Eigenschaft nicht stimmt, wird hier bewusst[math]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/math][br]immer zuerst die Symmetrieeigenschaft getestet, die falsch ist.)[br][br][math]f\left(x\right)=5x^4-4x^2+3[/math][br][br]Prüfe auf PS:[br][math]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/math][br][br][math]f\left(-x\right)=5\cdot\left(-x\right)^4-4\cdot\left(-x\right)^2+3=5x^4-4x^2+3[/math][br][math]-f\left(x\right)=-\left(5x^4-4x^2+3\right)=-5x^4+4x^2-3[/math][br][br]Wir sehen: [math]f\left(-x\right)\ne-f\left(x\right)[/math]. Also ist die Funktion [math]f[/math] nicht Punktsymmetrisch.[br][br][br]Prüfe auf AS:[br][math]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/math][br][br][math]f\left(-x\right)=5\cdot\left(-x\right)^4-4\cdot\left(-x\right)^2+3=5x^4-4x^2+3[/math][br][math]f\left(x\right)=5x^4-4x^2+3[/math][br][br]Wir sehen: [math]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/math]. Also ist die Funktion [math]f[/math] achsensymmetrisch.