Erstaunlicherweise erweist sich die [i]euklidische Ebene[/i] als Untergeometrie des Geradenraums als besonders störrisch: Die LIE-Algebra besteht aus allen Geradenvektoren der Tangentialebene [math]\large\mathcal{K}_\infty [/math] von [math]\infty[/math]. Auf [math]\large\mathcal{K}_\infty [/math] ist [math]\bullet [/math] ausgeartet. Daher läßt sich der Geradenraum nicht auf einfache Weise in zwei duale reelle Unterräume zerlegen. [br][br]Isometrien sind Drehungen, Verschiebungen, Geradenspiegelungen und Gleitspieglungen.[br][br]Ein euklidisches Koordinatensystem der euklidischen Ebne ist invariant festgelegt nur durch den Punkt [math]\mathbf\vec{p}_{\infty} [/math] und "Drehungen" [math]e^{i\cdot\varphi}\cdot\mathbf\vec{p}_{\infty} [/math] des Vektors. [br]Wie läßt sich damit eine Metrik, also konkret der "Abstand" zweier Punkte invariant definieren? Diese Metrik müßte als unabhängig von einer Transformation [math]\mathbf\widetilde{\vec{p}_\infty}=e^{i\cdot\varphi}\cdot \mathbf\vec{p}_{\infty} ,\mathbf\widetilde{\vec{p}_0}=\mathbf\vec{p}(a\cdot e^{i\cdot\varphi}),\mathbf\widetilde{\vec{g}_0}=\left[\mathbf\widetilde{\vec{p}_\infty},\mathbf\widetilde{\vec{p}_0}\right][/math] des euklidischen KOS sein.[br]Es seien zwei "Punkte" [math] \mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2 [/math] der euklidischen Ebene mit [math] \mathbf\vec{g}_i\bullet \mathbf\vec{p}_{\infty}=0,i=1,2 [/math] gegeben. Mit [math]\frac{\mathbf\vec{g}_i\bullet \mathbf\vec{p}_0}{\mathbf\vec{g}_i\bullet \mathbf\vec{g}_0}=z_i,i=1,2[/math] erhält man die Gauss-Koordinaten der Punkte. [br]Durch [math]\mathbf{d}(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2):=\left|\frac{\mathbf\vec{g}_1\bullet \mathbf\vec{p}_0}{\mathbf\vec{g}_1\bullet \mathbf\vec{g}_0}-\frac{\mathbf\vec{g}_2\bullet \mathbf\vec{p}_0}{\mathbf\vec{g}_2\bullet \mathbf\vec{g}_0}\right|=\frac{[\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2]\bullet \mathbf\vec{p}_0}{\mathbf\vec{g}_1\bullet \mathbf\vec{g}_0\cdot \mathbf\vec{g}_2\bullet \mathbf\vec{g}_0}=|z_1-z_2,|[/math] wird der Abstand zweier Punkte unabhängig von der komplexen Skalierung der Punkte und unabhängig von der Wahl des euklidischen KOS definiert.[br]Im obigen Applet werden die Werte mit Hilfe der komplexen Vektoren berechnet; sie stimmen mit den von [b]GeoGebra[/b] berechneten Werten überein.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]