Die Erlösfunktion lautet (s.o.) [math]E(x)=-\frac{40}{x_S}\,x^2+40\,x[/math][br]Für den maximalen Erlös muss der Hochpunkt von [math]E(x)[/math] berechnet werden, also ein lokaler Extrempunkt. [br]Notwendige Bedingung: [math]E'(x_E)=0[/math] mit [math]E'(x)=-\frac{80}{x_S}\,x+40[/math][br]Zu lösen ist also [math]0=-\frac{80}{x_S}\,x_E+40[/math]. Mit den Operationen [math]+\frac{80}{x_S}\,x_E[/math] und [math]\cdot\frac{x_S}{80}[/math] erhalten wir die Lösung [math]x_E=\frac{x_S}{2}[/math].[br]Hinreichende Bedingung: [math]E''(x_E)[/math]:[br][math]E''(x)=-\frac{80}{x_S}<0[/math], da [math]x_S>0[/math] ist, daher handelt es sich hier tatsächlich um einen Hochpunkt.[br][math]x_E=\frac{x_S}{2}[/math] war auch zu erwarten, denn die Erlösfunktion ist eine quadratische Funktion, hat Nullstellen bei Null und [math]x_S[/math], dann muss der Hochpunkt in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen.[br][br]y-Koordinate:[br]Einsetzen der Extremstelle in [math]E(x)[/math]:[br][math]\begin{array}{ll}[br]E(\frac {x_S}2)&=-\frac{40}{x_S}\cdot \frac{x_S}{2}^2+40\cdot \frac{x_S}{2}\\[br]& =10\,x_S[br]\end{array}[/math][br]Das heißt die Hochpunkte haben die Koordinaten [math]\underline{\underline{\mathbf H\left(\frac{x_S}2\bigg\vert 10\,x_S\right)}}[/math]

Diese Rechnng ist auch händisch, u.a. mit Hilfe der pq-Formel, möglich, aber das soll nun Ihnen zur Übung überlassen werden. Da wir dabei die Scharparameter als Buchstaben in der Rechnung verwenden wollen, ohne ihnen einen Wert zuzuweisen, müssen wir in der Geogebra-Suite in den [color=#0000ff]CAS-Modus[/color] gehen.[br][br]Als Variable für die Sättigungsmenge verwenden wir im Weiteren einfach den Buchstaben [color=#0000ff]s[/color]. Als erstes Speichern wir die Gewinnfunktion in Geogebra ab, indem wir eingeben: [br][color=#0000ff]G(x)=-0.3*x^3+(1.8-40/s)*x^2+26*x-30[/color][br]Da nach dem maximalen Gewinn gefragt ist, ist ein Hochpunkt der Gewinnfunktion gefragt. Die Notwendige Bedingung für Extremstellen ist dann [math]G'(x_E)=0[/math]. Dazu muss zuerst die Ableitungsfunktion G'(x) berechnet und dokumentiert werden. Dazu kann man in Geogebra einfach [color=#0000ff]G'(x)[/color] eingeben. [br]Als Ergebnis erhält man [math]\fgcolor{#0000ff}{G'(x)=\frac{-9\,s\,x^2+36\,s\,x+260\,s-800\,x}{10\,s}}[/math][br]Wenn man händisch rechnet, würde man dies sicher lieber noch umformen in[br][math]G'(x)=-0,9\,x^2+(3,6\,s-80)\,x+26[/math][br]Nun berechnen Sie die [b]notwendige Bedingung für Extremstellen[/b]:[br][color=#0000ff]löse(G'(x)=0)[/color][br]Achtung: Wenn man mit der Tastatur arbeitet, dann kann es sein, dass das Programm die Umlaute nicht erkennt und dass man daher kein "ö" schreiben kann. Dafür gibt es zwei Lösungen: Entweder man verwendet nur für das ö die Bildschirmtastatur oder man schreibt die englische Variante der löse()-Anweisung, also [color=#0000ff]solve(...)[/color][br]Als Ergebnis erhält man:[br][math]\left\lbrace x=\frac{18\, s-400-2 \sqrt{2} \sqrt{333\, s^2-1800\,s+20000}}{9\,s}, x=\frac{18\, s-400+2 \sqrt{2} \sqrt{333\, s^2-1800\,s+20000}}{9\,s}\right\rbrace[/math] [br]also [math]x_{E1}=\frac{18\, s-400-2 \sqrt{2} \sqrt{333\, s^2-1800\,s+20000}}{9\,s}[/math] [br]und [math]x_{E2}=\frac{18\, s-400+2 \sqrt{2} \sqrt{333\, s^2-1800\,s+20000}}{9\,s}[/math] [br][br]Man kann auch mit der Anweisung [math]Element(\left\lbrace x=\frac{18\, s-400-2 \sqrt{2} \sqrt{333\, s^2-1800\,s+20000}}{9\,s}, x=\frac{18\, s-400+2 \sqrt{2} \sqrt{333\, s^2-1800\,s+20000}}{9\,s}\right\rbrace,1)[/math] das erste Element aus der Liste herauslesen und wenn hinter dem Komma am Ende eine 2 steht, dann lesen Sie[br]das zweite Element aus der Liste[br][br]Das sind sehr komplizierte Lösungen. Aber wenn wir mit Geogebra arbeiten, dann braucht uns das nicht zu schrecken:[br][br]Berechnen der [b]hinreichenden Bedingung für Extremstellen[/b] [math]G''(x_E)[/math]:[br]Dazu berechnet und dokumentiert man zuerst die zweite Ableitung: G''(x)=\frac{-9\,s\,x+18\,w-400}{5\,s}[br][br]Nun das Ergebnis "duplizieren" (siehe die drei Punkt neben der löse()-Anweisung)[br]Nun kann man eine der beiden Lösungen kopieren, das geht am besten mit einer Maus. [br][br]Dann setzen Sie diese Lösung in G''(x) ein:[br][math]G''(x_{E1})=G''(\frac{18\, s-400-2 \sqrt{2} \sqrt{333\, s^2-1800\,s+20000}}{9\,s})[/math] mit dem Ergebnis [math]2\sqrt{2}\frac{\sqrt{333\,s^2-1800\,s+20000}}{5\,s}<0[/math][br] und[br][math]G''(x_{E2})=G''(\frac{18\, s-400+2 \sqrt{2} \sqrt{333\, s^2-1800\,s+20000}}{9\,s})[/math] mit dem Ergebnis [math]-2\sqrt{2}\frac{\sqrt{333\,s^2-1800\,s+20000}}{5\,s}>0[/math][br]Das heißt bei [math]x_{E1}[/math] ist ein Tiefpunkt und bei [math]x_{E2}[/math] ist ein Hochpunkt.[br][br][b]Berechnen der y-Koordinate des Hochpunktes[/b][br]Nun seinen Sie tapfer! Dieses Ergebnis ist [i]wirklich[/i] kompliziert. Aber die Anweisungen, mit denen Geogebra es erzeugt, sind einfach. Setzen Sie die x-Koordinate des Hochpunktes [math]x_{E2}[/math] in die Gleichung von [math]G(x)[/math] ein:[br][math]G(x_{E2})=\frac{32562\,s^3 - 1792800\,s^2 + 8640000\,s - 64000000 + (5328 \sqrt 2 \,s^2 - 28800 \sqrt 2\, s + 320000 \sqrt 2) \sqrt{333\,s^2 - 1800\,s + 20000}}{1215\,s^3}[/math][br]In dem Moment, wo man für [math]s[/math] eine Zahl einsetzt, wird aus diesem so komplizierten Ausdruck einfach eine Zahl. Das lässt sich zum Beispiel mit der Anweisung [color=#0000ff]Ersetze(Ausdruck,Parameter,Zahl) [/color]machen.[br][br]Für den Scharparameter [math]s=100[/math] ergibt sich dann der Hochpunkt H_{100}(7,15\vert 117,81)

Hier werden nur kurz die Lösungen angegeben. Probieren Sie es aus:[br]Gesucht ist eine extreme Änderung, also eine Wendestelle.[br][b]Notwendige Bedingung für Wendestellen[/b] ist [math]G''(x_W)=0[/math][br][math]G''(x)=\frac{-9\,s\,x+18\,s-400}{5\,s}[/math][br][color=#0000ff]Löse(G''(x)=0)[/color] [math]\Rightarrow x_W=\frac{18\,s-400}{9\,s}[/math][br][b]Hinreichende Bedingung für Wendestellen[/b]: [math]G'''(x_W)=-\frac{9}{5}[/math] [math]\Rightarrow[/math] Dies ist also ein Hochpunkt der Steigung und damit der stärkste Anstieg.[br][b]y-Koordinate berechnen[/b]:[br][math]G(x_W)=\frac{32562\,s^3 - 1792800\,s^2 + 8640000\,s - 64000000)}{1215\,s^3}[/math][br][br]Die Gewinnfunkton wächst am stärksten im Punkt [math]\underline{\underline{\mathbf W\left(\frac{18\,s-400}{9\,s}\bigg\vert \frac{32562\,s^3 - 1792800\,s^2 + 8640000\,s - 64000000)}{1215\,s^3} \right)}}[/math]