Come le rette rappresentano il modello geometrico delle equazioni polinomiali di [br]primo grado in due incognite, così le coniche sono il modello geometrico delle equazioni polinomiali di secondo grado in due incognite.[br][br]Il seguente teorema caratterizza completamente le coniche dal punto di vista algebrico.[br][br][b][color=#ff0000]TEOREMA[/color][/b]: [color=#0000ff]Ogni [b]conica [/b]è il luogo dei punti del piano soluzioni di una [b]equazione di secondo grado in due incognite[/b] del tipo:[br][center][math]ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0[/math][/center][center]con [math]a,b,c,d,e,f[/math] numeri reali e [math]a\ne0\vee b\ne0\vee c\ne0[/math][/center]Viceversa, se l’insieme reale delle soluzioni di un’equazione del tipo sopra riportato non è vuoto, esso rappresenta nel piano cartesiano una conica (anche degenere).[br][/color][br]Scopo della seguente attività è stabilire quali coniche si ottengono al variare dei parametri dell’equazione generale scritta sopra. [br][br]Usate il file geogebra per rispondere ai quesiti sottostanti.[br]
Impostate a zero i parametri [b]b[/b],[b]c[/b] e osservate la conica ottenuta.[br][br]L’equazione diventa [math]ax^2+dx+ey+f=0[/math]
Fate variare il valore del parametro[b] f[/b]. Cosa osservate?
Fate variare il valore del parametro [b]a[/b]. Cosa osservate?
Cosa accade quando [b]a=0[/b]? Perché?
Fate variare il valore del parametro [b]e[/b]. Cosa osservate?
Cosa accade quando [b]e=0[/b]? Perché?
Fate variare il valore del parametro [b]d[/b]. Cosa osservate?
Scrivete l’equazione della conica esplicitando la variabile y:
[math]y=-\frac{a}{e}x^2-\frac{d}{e}x-\frac{f}{e}[/math]
Impostate a zero i parametri [b]a[/b],[b]b[/b] e osservate la conica ottenuta.[br][br]L'equazione diventa [math]cy^2+dx+ey+f=0[/math]
Fate variare ora il valore del parametro [b]f[/b] e osservate come cambia la curva. Riportate le vostre deduzioni:
Fate variare ora il valore del parametro [b]c[/b]. Cosa accade quando vale 0? Perché?
Cosa accade al variare di [b]e[/b]? Cosa accade quando vale 0?
Fate variare il valore del parametro [b]d[/b]. Cosa osservate?
Scrivete l’equazione esplicitando la variabile x:
[math]x=-\frac{c}{d}y^2-\frac{e}{d}y-\frac{f}{d}[/math]
Impostate i parametri come indicato e osservate la conica ottenuta.[br][br]L'equazione diventa [math]x^2+y^2+dx+ey+f=0[/math]
Osservate la conica ottenuta. Che tipo di conica è?
Osservate cosa accade al variare dei parametri [b]d[/b], [b]e[/b], [b]f[/b] e riportate le vostre considerazioni:
Scrivete l’equazione nel caso in cui [b]d=e=0[/b]:
Cosa accade al variare di [b]f[/b]?
Mantenete inalterati i valori che avete adesso dei parametri [b]b, c, d, e[/b] . [br]Attribuite un valore negativo (a vostra scelta) al parametro[b] f[/b]. [br]Fate variare il parametro [b]a[/b]. [br]Cosa osservate?
Modificando i valori dei diversi parametri, si generano tutte le coniche che conosci?
Attenzione: nei casi precedenti il parametro b è sempre rimasto pari a zero. Provate ora ad [b]assegnare a b un valore non nullo[/b] e modificate gli altri parametri come descritto nei punti precedenti. [br]Quali differenze sostanziali notate rispetto ai casi con b=0?