Una volta denotata con [math]i:=\sqrt{-1}[/math] l'unità immaginaria, possiamo scrivere il risultato della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado qualsiasi sia il segno del discriminante:[br][math]z^2+bz+c≡\left(z-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(z-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)[/math].[br]Se il discriminante è negativo, le radici sono numeri della forma p+iq, con p e q numeri reali. Ad es.,[br][math]z^2+2z+2=\left(z-1-i\right)\left(z-1+i\right)[/math][br][br]Se [math]z≡x+iy[/math], allora [math]x=:Re(z)[/math] prende il nome di "[b]parte reale[/b]" e [math]y=:Im(z)[/math] è detto "[b]parte immaginaria[/b]" del numero complesso z. Ogni numero complesso è dunque caratterizzato da due numeri reali.[br][br]Nel foglio seguente, le radici dell'equazione [math]z^2+bz+c=0[/math] sono rappresentate nel piano complesso (piano di Gauss-Argand): la parte reale del numero complesso è rappresentata dalla sua ascissa, la parte immaginaria dalla sua ordinata.

Cambiando i valori dei coefficienti b e c, possiamo osservare come si muovono le radici [math]z_1[/math] e [math]z_2[/math] dell'equazione.[br][br]Attiva la traccia dei punti [math]z_1[/math] e [math]z_2[/math]. Qual'è il luogo di questi punti al variare di b?[br]Riconosci il significato algebrico della somma [math]z_1+z_2[/math] e del prodotto [math]z_1⋅z_2[/math]?[br][br]La simmetria tra [math]z_1[/math] e [math]z_2[/math] è evidente. Sono numeri del tipo [math]u+iv[/math] e [math]u−iv[/math], che differiscono cioè per il segno della parte immaginaria, detti "[b]complessi coniugati[/b]". Il loro prodotto è[br][math](u+iv)(u−iv)≡u^2+v^2[/math].[br][br]Questo numero rappresenta il quadrato del "modulo" del numero complesso (tanto di [math]u+iv[/math] che di [math]u−iv[/math]), definito come la lunghezza del segmento che collega il punto con l'origine, e si indica con il simbolo [math]|u+iv|[/math].[br]Ti sei accorto che il modulo quadro di [math]z_1[/math] è uguale a [math]z_1⋅z_2[/math] che a sua volta è uguale a [math]c[/math]?[br][br]Ecco perchè, cambiando [math]b[/math], [math]z_1[/math] e [math]z_2[/math] si muovono su una circonferenza: hanno sempre distanza [math]\sqrt{c}[/math] dal centro!