[br][br]Vogliamo approssimare, in un intorno di x=0,  la funzione y= cosx  con un polinomio.[br][br]Ripassiamo le proprietà della funzione y= cosx[br][list][*]La funzione [math]y=cosx[/math] ha come dominio tutti i reali, come codominio l'insieme [math][-1,+1][/math][/*][*]E' una funzione periodica di periodo [math]2\pi[/math] [/*][*]La funzione [math]y=cosx[/math] è una funzione pari[/*][/list][br]Per rispettare la simmetria della funzione, anche l’approssimazione deve essere fatta con un [b]polinomio pari[/b] (cioè con solo potenze pari: [math]x^o[/math], [math]x^2[/math], [math]x^4[/math], [math]x^6[/math], ...) perchè avrebbe la stessa proprietà di simmetria.[br]Un polinomio con termini dispari romperebbe questa simmetria, quindi le proprietà della funzione coseno. [br]Disegna con geogebra la funzione coseno.

[list][*]Approssimiamo, in un intorno di [math]x=0[/math], la funzione [math]y=cosx[/math] con un polinomio di grado zero (primo polinomio di grado pari). Un polinomio di grado 0 è semplicemente una [b]retta orizzontale[/b]: ovvero [math]P_0\left(x\right)=q[/math] e se calcoliamo il [b]polinomio di grado 0 in[/b][math]x=0,[/math] abbiamo [math]P_0\left(0\right)=q[/math] , quindi la retta sarà [math]y=q[/math].[/*][/list]Ci chiediamo quale potrebbe essere il il valore di [math]q[/math] che renda l'approssimazione della funzione [math]y=cosx[/math] la migliore possibile. Consideriamo che dobbiamo approssimare la funzione coseno in un intorno di [math]0[/math] e che conosciamo il valore della funzione coseno nel punto [math]x=0[/math]. [br][br]Per valutare il valore di [math]q[/math] e quanto l'approssimazione della funzione y=cosx con un polinomio di grado zero sia "buona", possiamo procedere con: [br][list][*]una valutazione intuitiva, utilizzando Geogebra, dalla quale determiniamo il valore di [math]q[/math] (valore che probabilmente hai già ricavato dalle considerazioni precedenti)[/*][*]una valutazione algebrica dell'approssimazione , utilizzando un foglio di calcolo[/*][/list][br]Usa geogebra:[br]1. Inserisci la funzione [math]y=cosx[/math];[br]2. Inserisci il Polinomio [math]P_0\left(x\right)=q[/math]. In automatico verrà inserito uno slider. Muovi lo slider per definire il valore esatto di [math]q[/math]

Dopo aver dato una risposta, completa la tabella presente nel foglio elettronico del file di geogebra che segue, inserendo opportune formule nelle celle del foglio di calcolo; nella tabella sono visualizzati i valori con 5 cifre decimali. [br]Nella prima colonna sono stati inseriti alcuni valori, sempre più "vicini" allo zero. Nella seconda colonna vengono calcolati i rispettivi valori del coseno e nella terza colonna vengono determinati i valori delle [b]distanze CP[/b] (|[math]\left|y_C-y_P\right|[/math]) , che possono fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza CP tra le due curve è piccola più è buona l'approssimazione. [br]

Usando geogebra costruisci la visualizzazione della distanza che c'e tra la funzione [math]y=cos\left(x\right)[/math] e il polinomio approssimante al variare delle [math]x[/math] prese in un intorno di [math]x=0[/math]. [br]N.B. devi:[list=1][*]traccia la funzione coseno [math]y=cos\left(x\right)[/math];[/*][*]traccia la funzione polinomiale [math]y=1[/math];[/*][*]traccia la retta [math]x=a[/math];[/*][*]si introdurrà automaticamente uno slider che mi farà variare le[math]x[/math] scelte; [/*][*]visualizzare, con il comando intersezione, i punti C e P che appartengono rispettivamente alle due funzioni e corrispondenti alla [math]x[/math] scelta;[/*][*]visualizzare il segmento CP che rappresenta la distanza tra tali punti;[/*][*]visualizzare il valore numerico di tale distanza;[/*][*]muovi P e osserva come varia la distanza tra Ce P[/*][/list]

Ti sei reso conto che non è semplice determinare il valore di b, a parte il suo segno, [br]Procediamo facendoci aiutare da un semplice foglio di calcolo. L'idea è la seguente: determiniamo il valore di [math]b[/math] ( coefficiente del termine di secondo grado del polinomio) seguendo un ragionamento molto semplice : [br]    [br][list][*]Prendiamo un valore di [math]x[/math] abbastanza vicino allo zero, per esempio [math]x=0,2[/math][/*][*] calcoliamo la funzione coseno in [math]x=0,2[/math]: [math]y=cos\left(0,2\right)[/math] [/*][/list][list][*] calcoliamo il valore del Polinomio di 2° grado in [math]x=0,2[/math] : [math]P_2\left(0,2\right)=1+b\left(0,2\right)^2[/math][/*][*]ricaviamo [math]b[/math] risolvendo la seguente equazione : [math]P_2\left(0,2\right)=cos\left(0,2\right)[/math][/*][/list]se risolviamo, rispetto ad [math]b[/math] l'equazione [math]1+b\left(0,2\right)^2=cos\left(0,2\right)[/math], otterremo [math]b=(cos(0,2)-1)/(0,2)^2[/math], [math]b=0,49834[/math] [br][br]Se ripeti la stessa procedura per un valor di [math]x[/math] che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di [math]b[/math] sempre più vicino al valore che ti permette di approssimare meglio la funzione coseno con un polimonio [math]P_2(x)[/math]. Usa il foglio excel per ricavare [math]b[/math] (con un'approssimazione di cinque cifre decimali) per i seguenti valori :[math]x=0,1[/math] ;[math]x=0,01;x=0,001;x=0,0001;x=0,00001[/math].[br]Ricorda che per inserire una formula in una cella del foglio di calcolo, devi inserire inizialmente il simbolo di uguaglianza e che nella formula devi inserire gli indirizzi delle celle e non il valore che vedi in esse contenuto. In questo modo potrai copiare le formule in altre celle. [br]

Il polinomio che potrebbe migliorare l'approssimazione deve essere di 4° grado. Aggiungiamo perciò al polinomio precedente di grado 2° , un termine di quarto grado. [br]Chiamiamo il nuovo polinomio approssimante : [math]P_4\left(x\right)=1-\frac{1}{2}x^2+cx^4[/math][br][br]Per determinare il valore del coefficiente [math]c[/math] del termine di secondo grado , possiamo fare anche qui valutazioni di diversa natura:[br][list][*]una valutazione intuitiva, usando Geogebra[/*][*] una valutazione algebrica[/*][*]una valutazione di natura geometrica (una valutazione globale), ovvero, scegliendo un intorno di zero non troppo piccolo e minimizzando l'area sottesa tra il polinomio e la funzione coseno, usando Geogebra[/*][/list]

Usa Geogebra: [br][list=1][*]inserisci la funzione coseno [math]y=cos(x)[/math];[/*][*]inserisci il polinomio [math]P_4\left(x\right)=1-\frac{1}{2}x^2+cx^4[/math][br][/*][*]si crea automaticamente uno slider [math]c[/math] [/*][/list]Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di [math]c[/math], fai dei tentativi, variando il valore dello slider . Ricordati che puoi anche "animare" lo slider , regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione reciproca tra il polinomio e la funzione. [br]

Ti sarai reso conto che, pur variando il valore dello slider, sembrerebbe non semplice capire l'esatto valore del coefficiente [math]c[/math]. [br]Analizziamo un altro tipo di valutazione:[br]

L'idea è la seguente: determiniamo il valore di [math]c[/math] ( coefficiente del termine di 4°grado del polinomio) seguendo un ragionamento molto semplice : [br]    [br][list][*]Prendiamo un valore di [math]x[/math] abbastanza vicino allo zero, per esempio [math]x=0,2[/math][/*][*] calcoliamo la funzione coseno in [math]x=0,2[/math]: [math]y=cos\left(0,2\right)[/math] [/*][/list][list][*] calcoliamo il valore del Polinomio di 4° grado in [math]x=0,2[/math] : [math]P_4\left(0,2\right)=1-\frac{1}{2}\left(0,2\right)^2+c\left(0,2\right)^4[/math][/*][*]ricaviamo [math]c[/math] risolvendo la seguente equazione : [math]P_4\left(0,2\right)=cos\left(0,2\right)[/math][/*][/list]se risolviamo, rispetto ad c l'equazione [math]1-\frac{1}{2}\left(0,2\right)^2+c\left(0,2\right)^4=cos\left(0,2\right)[/math], otterremo [math]c=0,416112[/math] [br][br]Se ripeti la stessa procedura per un valore di [math]x[/math] che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di [math]c[/math] sempre più vicino al valore che ti permette di approssimare meglio la funzione coseno con un polimonio [math]P_4(x)[/math]. Usa il foglio excel per ricavare [math]c[/math] (con un'approssimazione di almeno cinque cifre decimali) per i seguenti valori :[math]x=0,1[/math] ;[math]x=0,01;x=0,001;x=0,0001;x=0,00001[/math][br]

Passiamo ad un altro tipo di valutazione, basato sull'area sottesa tra le due funzioni in un intervallo fissato. L'idea sulla quale si basa questa valutazione è che "più le due funzioni sono vicine", più l'area "racchiusa" tra le due funzioni è piccola; man mano che le due funzioni si avvicinano l'area diminuisce.[br][br]Per questo tipo di valutazione , utilizziamo Geogebra: [br][list][*]Inserisci le due funzioni: la funzione esponenziale [math]y=cosx[/math]e il polinomio [math]P_4(x)=1-\frac{1}{2}x^2+cx^4[/math]. [/*][*]Scegli un intorno di 0, per esempio [math]-1\le x\le1[/math] , [/*][*]usa il comando di Geogebra che si chiama [b]IntegraleTra, [/b] [math]IntegraleTra(f,P_4(x),-1,1)[/math] per determinare l'area racchiusa tra le due funzioni nell'intervallo scelto. [/*][/list]