Je vindt online een breed assortiment aan websites waar 'de gulden snede' ter sprake komt.[br]Op sommige wordt aan de regelmatige vijfhoek een speciale status toegekend omdat hier de gulden snede zou voorkomen. Niemand kent een vierkant uitzonderlijke metafysische of esthetische kwaliteiten toe omdat de diagonaal van een vierkant met zijde 1 gelijk is aan [math]\sqrt{2}[/math]. [br]Evenmin stellen mensen zich vragen bij een gelijkheid als sin 60°= sin [math]\frac{\pi}{3}[/math]= [math]\frac{\sqrt{3}}{2}[/math].[br]Wel, er bestaat een analoge gelijkheid [math]sin\frac{\pi}{10}=\frac{\varphi}{2}[/math].

In de CAS-app van GeoGebra kan je gemakkelijk deze en andere verwante gelijkheden narekenen: [br][math]sin\left(\frac{\pi}{10}\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\frac{\varphi}{2}[/math][br][math]cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{\Phi}{2}[/math][br][math]cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)=\frac{-\sqrt{5}+1}{4}=-\frac{\varphi}{2}[/math][br][math]sin\left(\frac{3\pi}{10}\right)=\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{\Phi}{2}[/math]

En dus neen, er is niet speciaals aan een regelmatige vijfhoek. [br]Vanuit deze gelijkheid is het logisch dat bij berekeningen in deze figuur het getal [math]\varphi[/math] (en dus ook [math]\Phi[/math]) opduikt.[br]Je mag het best pittige onderstaande bewijs gerust overslaan en enkel de boodschap meenemen dat er niets mysterieus is aan een vijfhoek of een pentagram '[i]omdat daar de gulden snede voorkomt[/i]'.[br]In volgende pagina's zie je enkele illustraties. De boodschap is: Onthoud dat het de logica zelf is dat je [math]\varphi[/math] en [math]\Phi[/math] terugvindt in meetkundige toepassingen met regelmatige vijf- of tienhoeken.

De gelijkheid [math]sin\frac{\pi}{10}=\frac{\varphi}{2}[/math] is gewoon een wiskundige gelijkheid, net zoals [math]sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/math], die je in de lessen goniometrie leert. Dit betekent dat het voor de hand ligt dat je [math]\varphi[/math] gaat tegenkomen in meetkundige toepassingen waarin hoeken van [math]\frac{\pi}{10}=18°[/math] of veelvouden daarvan tegenkomt. Immers, de lengte van de zijde van een regelmatige n-hoek met straal r is gelijk aan [math]2rsin\frac{\pi}{n}[/math].