4ème Devoirs Géogebra
Devoirs maison 4ème
Table of Contents
- DM01 - Pythagore
- Carrés de Pythagore
- On prend la tangente ?
- Devoir synthèse Pythagore
- DM02 - Fractions Proportionnalité
- Histoire de sommes...
- Représentation graphique de la proportionnalité
- DM03 - Thalès
- Guide ânes
- Toile d'araignée
- DM04 - Translation
- Translation et coordonnées
Carrés de Pythagore
Le Théorème de Pythagore est souvent illustré, depuis l'antiquité, par des images similaires à celle qui suit.
[list=a][*]Construis un triangle ABC rectangle en A.[/*][*]Construis, à l'image de la figure ci-dessus, sur ses côtés, les trois carrés extérieurs au triangle ABC.[/*][*]Affiche leur aire.[/*][*]Comment vérifier, avec ces aires, le théorème de Pythagore ?[br][/*][/list]
Histoire de sommes...
L'algèbre permet parfois des simplifications surprenantes et des calculs qui semblent compliqués peuvent s'avérer au final très simples.[br][br]Prenons l'exemple de la somme suivante :[br][br][math]S_n=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+....+\frac{1}{n\times\left(n+1\right)}[/math][br][br]Dans [math]S_n[/math], l'indice [math]n[/math] indique le nombre de termes de la somme.[br][br]Ainsi on a [math]S_1=\frac{1}{1\times2}[br][/math] ; [math]S_2=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}[/math] ; [math]S_3=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}[/math] et ainsi de suite...
Calcule les 4 premiers termes de la suite : [math]S_1[/math]; [math]S_2[/math]; [math]S_3[/math] et [math]S_4[/math].
Je prétends que calculer n'importe quel terme de la suite "à la main", par exemple [math]S_{123}[/math] est extrèmement simple et rapide.[br][br]Nous allons voir comment.
Tout d'abord commence par calculer les différences suivantes :[br][br][math]\frac{1}{1}-\frac{1}{2}[/math] ; [math]\frac{1}{2}-\frac{1}{3}[/math] ; [math]\frac{1}{3}-\frac{1}{4}[/math] ; [math]\frac{1}{4}-\frac{1}{5}[/math] ; [math]\frac{1}{5}-\frac{1}{6}[/math] [br][br]Puis explique comment trouver très simplement les résultats de ces soustractions.
Dans le cas général où [math]n[/math] est un nombre entier, comment peut s'écrire la solution de la différence [math]\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/math] ?
Dans le tableur ci-dessous, complète les cellules pour faire calculer les expressions définies dans l'en-tête des colonnes jusqu'à [math]n=50[/math].[br][br]Puis rajoute une colonne à droite pour faire calculer la somme [math]S_n[/math] recherchée jusqu'à [math]n=50[/math].[br][br][size=85][b]Remarque :[/b] Tu peux faire afficher le résultat de calculs sous forme de fractions en sélectionnant les cellules concernées et en cliquant sur "Symbolique" dans l'onglet Algèbre des préférences de cellules.[/size]
A vu de ce qui précède, comment aurais-tu pu calculer [math]S_1[/math], [math]S_2[/math], [math]S_3[/math] et [math]S_4[/math] très rapidement ?[br]Déduis-en [math]S_5[/math], [math]S_6[/math] et [math]S_7[/math].
Dans le cas général où [math]n[/math] est un nombre entier supérieur à 1, explique comment calculer rapidement [math]S_n[/math] ?
A quoi est donc égale [math]S_{123}[/math] ?
Guide ânes
On appelle "guide-ânes" un faisceau de droites parallèles.[br]On s'en servait pour diviser un segment de droites en un nombre voulu d'intervalles de même longueur.
[list=a][*]Construis un triangle ABC.[/*][*]Construis le milieu J de [AB], le milieu K de [AJ] et le milieu L de [BJ][/*][*]Construis les parallèles à (BC) passant par J, K et L.[/*][*]Elles coupent respectivement [AC] en H, M et N.[/*][*]Déplace le point C. Que remarques-tu ? Explique le.[br][/*][/list]
Translation et coordonnées
Il s'agit dans cette activité de comprendre comment les coordonnées peuvent être utilisées pour calculer la position de l'image d'une figure.
[i][color=#1155Cc]Afin de simplifier l'interprétation des figures obtenues, tu pourras placer tous les points de façon à ce que leur coordonnées soient des nombres entiers relatifs, c'est pour cela que le magnétisme de la grille est activé.[br][br]La construction doit être robuste, le déplacement d'un point sur le graphique doit entraîner le déplacement des points qui en dépendent (voir exemple ci-dessous).[/color][/i]
[list=1][*]Place le point O de coordonnées (0;0) et le point V(3;4) ;[/*][*]Trace un quadrilatère ABCD ;[/*][*]Construis A', B', C' et D', images respectives des points A, B, C et D par la translation qui transforme O en V : [math]\mathcal{T}_\vec{OV}[/math][br][/*][*]Fais afficher le nom et les coordonnées (valeur) des points que tu as tracés.[/*][/list]
a/ Que remarques-tu concernant les coordonnées des points A', B', C' et D' ?
b/ Cette remarque est-elle encore valable lorsque tu déplaces le point A ?
c/ Comment peut-on calculer les coordonnées des points A', B', C' et D' si O ne se situe plus aux coordonnées (0;0) ?