[b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b]

[b][size=150]＜極座標＞[/size][/b][br]ｘ軸の正の部分OXから反時計周りに測った角（[color=#0000ff][b]偏角[argument][/b][/color]）と、原点からの距離（[color=#0000ff][b]動径[radius][/b][/color]）で[br]点P（rcosθ, rsinθ)の位置を直交座標のかわりに[b][color=#0000ff]動径ｒと偏角θのペア(r；θ)[/color][/b]で表すものを[br][color=#0000ff][b]極座標[polar coordinates][/b][/color]という。テキストによっては極形式でも(r, θ)と書いているものもある。[br]しかし、直交座標との混同しやすいので、今後[color=#0000ff][b][size=150]Geogebraのかき方（ｒ；θ）を極形式[/size][/b][/color]とする。[br]極座標のシステムでは、[b][size=150]原点Oを極[/size][/b]という。[br][br][size=150][b]＜極方程式＞[br][/b][size=100]ｒだけ指定、θだけ指定、または、ｒとθの関係式で、点集合を表す極方程式[br][/size][/size]「ｒ＝一定に指定する」と[b]円[/b][br]　原点を通る半径kの円の極方程式はｒ＝ｋだけでよい。[b]（例）P=（1；θ）[br][/b]「θだけ指定する」と[b]直線[/b][br]　原点を通る角度ｐの直線の極方程式はθ=p」だけでよい。[br]　たとえば、θ=π/4だとすると、45度線ｙ＝1/2 ｘになる。[br]　しかし、ｒを正に限ると第1象限だけの半直線[br]　になってしまう。[br]　だから、[b]ｒが０や負の場合も入れないと直線全部を表すことができないことに[br]　注意しよう[/b]。[b]（例）P＝(tanθ；π/4)[br][/b][color=#0000ff]（例）[/color][br]「極方程式ｒcos(θ- a)= r[sub]0」[/sub]は、点A(r[sub]0[/sub]：a)を通りOAと[b]垂直な直線[/b][br]　点P(r：θ), 点A(r[sub]0[/sub]：a)があるとき、角PAOが直角の直角三角形POAがある。[br]　辺PO=rで、角POA＝θ- aだから、辺OA＝r cos(θ- a)＝r[sub]0[/sub]となるね。[br]　つまり、法線OAで、点Aを通る直線上の点Pが満たす方程式になっている。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「極方程式ｒ[sup]2[/sup]- 4ｒsinθ- 1=0 」は、中心A（0, 2)で、半径√5の[b]円[/b][br]　P（ｘ，ｙ）とすると　r[sup]2[/sup]=x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]　x=rcosθ、y=rsinθ　の置き換えができる。[br] x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]-4y-1=0 x[sup]2[/sup]+(y-2)[sup]2[/sup]=5[br][color=#0000ff]（例）[/color][br] 「極方程式　r = e[sup]-θ[/sup]，r = e[sup]θ[/sup]」は[b]螺旋[/b][br]　r[sup]2[/sup]=x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=e[sup]±2θ[/sup]cos[sup]2[/sup]θ+e[sup]±2θ[/sup]sin[sup]2[/sup]θ=e±[sup]2θ[/sup]　これから、ｒ＝e[sup]±θ[br][/sup][color=#0000ff]（例）[/color][br] 「極方程式　r = aθ 」[b]は、アルキメデスのらせん[/b]。[br]　動径がθに比例するから、２，３回転すると、極から２，３倍離れた[br]　ところを通る。だから、通常のr=e[sup]θ[/sup]螺旋のように急激な発散をしない。（例）P=（1.2θ；θ)[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「極方程式 [math]ｒ=4cos(θー\frac{\pi}{4})[/math]」は円[br]極形式では、点P(x,y)=(r；θ)=(rcosθ,rsinθ)となる。このｒの方程式がなんであれ、[br]r[sup]2[/sup]=x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]（x=rcosθ、y=rsinθ)　となる。[br]ｒのままでは、この式につながらないので、r[sup]2[/sup]の式を作ろう。[br][math]cos(θ-\frac{\pi}{4})=cosθcos\frac{\pi}{4}+sinθsin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(cosθ+sinθ)[/math]だから、[br][math]r^2=r・4cos(θ-\frac{\pi}{4})=2\sqrt{2}rcosθ+2\sqrt{2}rsinθ[/math]となるね。[br]ここで、r[sup]2[/sup]=x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]（x=rcosθ、y=rsinθ)　の置き換えができる。[br]x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=2√2x+2√2yとなるから、(x-√2)[sup]2[/sup]+(y-√2)[sup]2[/sup]=4。中心が(√2,√2)、半径が２の円。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「極方程式　[math]r＝\frac{\sqrt{６}}{２＋\sqrt{６}cos\theta}[/math] 」は楕円[br]極形式では、点P(x,y)=(r；θ)=(rcosθ,rsinθ)となる。このｒの方程式がなんであれ、[br]r[sup]2[/sup]=x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]（x=rcosθ、y=rsinθ)　となる。[br]2r+√6rcosθ=√6。rcosθ=xを代入しよう。[br]r=√6/2(x-1)。両辺を２乗すると、r[sup]2[/sup]=x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=3/2(x[sup]2[/sup]-2x+1)。[br]これを整理すると、[math]\frac{\left(x-3\right)^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1[/math] だから、楕円。[br][math]\frac{\left(x-3\right)^2}{6}-\frac{y^2}{3}=\left(\frac{\left(x-3\right)}{\sqrt{6}}\right)^2-\left(\frac{y}{\sqrt{3}}\right)^2=\left(\frac{\left(x-3\right)}{\sqrt{6}}+\frac{y}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{\left(x-3\right)}{\sqrt{6}}-\frac{y}{\sqrt{3}}\right)=1[/math] から、[br][b]漸近線[/b]は[math]\left(\frac{\left(x-3\right)}{\sqrt{6}}+\frac{y}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{\left(x-3\right)}{\sqrt{6}}-\frac{y}{\sqrt{3}}\right)\text{＝}\text{０}[/math] の解で、[math]y\text{＝}\frac{\pm\left(x-3\right)}{\sqrt{\text{２}}}[/math][br][b]頂点[/b]のｘ座標は、方程式にｙ＝０を代入して、x=3±√6。[br][b]ｙ切片[/b]はx=0を代入して、y=±√6/2

[b][size=150]＜正葉曲線＞[/size][/b][br][b][size=150](sin(nθ)；θ) [/size][/b]は極を中心に合同な図形のパーツ（葉）が対称的に並ぶので[br][color=#0000ff][b]正葉曲線[Rose Curve][/b][/color]と呼ばれることがある。[br][b][size=150]＜実験＞[/size][/b][br]らせんの１種のように見えるがｎが振動のスピードを早めている。[br]n=1のときは円と同じくθ=0で極からスタートし、θ=π/2でr=1のピークで、θ=πでr=0で極にもどる。[br]n=2だと２倍の速さでθ=π/(2・2)で2θ=π/2となりr=1のピークになる。[br]そのα前後の角でsin(π/2＋α)=sin(π/2ーα）サインの左右の[color=#0000ff][b]対称性[symmetry][/b][/color]から、値が等しくなる。[br]だから、y=tan(π/4)を軸にP(r：θ)の位置は線対称になる。だから、丸みのある葉の形になるね。[br]n=3だと３倍の速さでθ=1/3・π/2でr=1のピークになる。[br][br][b][size=150]＜一般化＞[/size][/b][br]振動数ｎの数はOXからスタートしてｎ倍の速さでθ=π/2nでnθ=π/2となりr=1のピークになる。[br]四分円のｎ分の１のところに１枚めの葉がくるということだね。[br]sin(π/2＋α)=sin(π/2ーα）と[color=#0000ff][b]１枚目の葉はy=tan(π/2n)を軸にP(r：θ)の位置は線対称になり、[br]θ=π/nになると、nθ=πとなりr=0となり極にもどり、丸い葉の形になる[/b][/color]。[br]

[br]準線との関係を極形式で表してみよう。[br]準線エルをｘ＝-a(a>0)とし、P＝（ｒ；θ）とするとOP=r 、角POX＝θとなる。P(x,y)=(r cos θ, r sin θ)[br]Pからエルに下ろした垂線の足をHとすると、PH=a+x(P)=a + r cos θだから、[br][math]\frac{PO}{PH}=\frac{r}{a+rcos\theta}[/math] となり、この値を[color=#0000ff][b]e（離心率、逸脱率[eccentricity]）[/b][/color]と名付ける。[br][b][size=150]＜離心率の思考実験＞[/size][/b][br]・e=１のまま、Pが動けばPO=PHとなり、Pは[b]放物線[/b]を描くだろう。POが巨大になるとPHも巨大になるから、極からどんどんはなれていく。[br]・もしe=0.5のまま、Pが動くとPO=PH×0.5のため、Pが準線から右にいくと、POも増加するはずだが低空飛行にしないとOPが大きくなりすぎる。そのため、PHには上限がある。逆にPが準線に近くなり、Oの真上を通りすぎるとPは低くなり、PHの下限がある。つまり、[b]楕円[/b]のようになりそうだ。[br]eの値が１より小さいと点Pは極から離れるには限度があると。まさに、eは離心率という語感にあう。[br]・逆にe=2のまま、Pが動くと楕円のときとは逆に、放物線以上に上空に離れていく[b]双曲線[/b]になりそうだ。[br][b][size=150]＜離心率と一般化＞[br][/size][/b][size=100][math]\frac{PO}{PH}=\frac{r}{a+rcos\theta}\text{＝}e[/math][br][b]Oが極で、[/b]a,eが正のとき、点P(r；θ）の軌跡は[b][color=#0000ff]Oが焦点の２次曲線[/color][/b]を表す。[br]・rについて解くと、r=e(a+rcosθ)=ea+r(ecosθ)。r(1-ecos)θ=ea。ea=ｋとおくと、r=[math]\frac{k}{1-ecos\theta}[/math] [br] 　[b][size=150][color=#0000ff]P= ( ea/(1-e cosθ) ；θ) [/color][/size][/b]が極方程式になるね。[br][br]これを直交座標形の方程式にしてみよう。[br]　PH=a+x で、r=e(a+x)。r[sup]2[/sup]=x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=e[sup]2[/sup](a+x)[sup]2[/sup]。[br]・e=1のとき、x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]-(a+x)[sup]2[/sup]=0 。(x+a+x)(x-a-x)+y[sup]2[/sup]=0　　[b][color=#0000ff]y[sup]2[/sup]=a(2x+a)=4・(1/2a)・(x + a/2)[/color][/b]。[br]　これから、準線がｘ＝-1/2a-1/2a=-a、焦点が(1/2a+-1/2a,0)=(0,0)の[b]放物線[/b]と言えるね。[br]・e=1でないとき、ea=kとおく。[br]　x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]-(k+ex)[sup]2[/sup]=[color=#0000ff][b][size=150]x[sup]2[/sup]-e[sup]2[/sup]x[sup]2[/sup]-2kex-k[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=0[/size][/b][/color][br] [math]\left(1-e^2\right)x^2-2kex-k^2+y^2=0[/math][br] [math]\left(1-e^2\right)\left(x^2-\frac{2k}{1-e^2}x\right)-k^2+y^2=0[/math][br] [math]\left(1-e^2\right)\left(x-\frac{k}{\left(1-e^2\right)}\right)^2-\frac{k^2}{\left(1-e^2\right)}-k^2+y^2=\left(1-e^2\right)\left(x-\frac{k}{\left(1-e^2\right)}\right)^2+y^2-k^2\left(\frac{1}{1-e^2}-1\right)=0[/math][br] [math]\left(1-e^2\right)\left(x-\frac{k}{\left(1-e^2\right)}\right)^2+y^2-\frac{\left(ke\right)^2}{1-e^2}=0[/math][br] [math]\frac{\left(x-\frac{k}{\left(1-e^2\right)}\right)^2}{\frac{\left(ke\right)^2}{\left(1-e^2\right)^2}}+\frac{y^2}{\frac{\left(ke\right)^2}{1-e^2}}=1[/math]　[br][br]▢ eが1より小さいとき、[color=#0000ff][b](1-e[sup]2[/sup])は正。楕円[/b][/color]の式になる。[br]　[br]▢ eが１より大きいとき、[color=#0000ff][b](1-e[sup]2[/sup])は負。双曲線[/b][/color]の式になる。[br] [/size]