Unten ist eine Animation, in der ein Funktionsgraph [math]f(x)[/math] und ein Punkt mit einer Tangente eingefügt ist. Der Punkt lässt sich über den Schieberegler am unteren Ende der Animation bewegen.[br][br]Außerdem kann man sich den Funktionsgraphen der Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] anzeigen lassen. Die Tangentensteigungen und die Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] sind phantastische Werkzeuge, um Eigenschaften der Funktion [math]f(x)[/math] zu analysieren:

Ein [b]Extrempunkt[/b] (auch Extremum genannt. Die Mehrzahl heißt "Extrema") ist ein [b]Hoch-[/b] oder ein [b]Tiefpunkt[/b]. Im übertragenden Sinne also ein "Berggipfel" oder eine "Talsohle". Einen Hochpunkt nennt man auch "Maximum" (die Mehrzahl heißt "Maxima") und einen Tiefpunkt "Minimum" (die Mehrzahl heißt "Minima").[br][br]Der Funktionsgraph der oben stehenden Animation hat einigen Hoch- und Tiefpunkte.[br]Solche Extrempunkte kann man hervorragend an Hand der Tangentensteigung erkennen. [br][br][size=150]Untersuche in der folgenden Animation den [color=#980000][b]Zusammenhang zwischen Extrempunkten und der Tangentensteigung[/b][/color] einer Funktion: [br][/size]

[list][*]Wenn der Funktionsgraph in einem Intervall[b][i] nur steigt[/i][/b], dann sagt man, dass dieser Funktionsgraph [color=#980000][b]streng monoton steigend ist[/b][/color]. [/*][*]Für die Ableitung einer solchen Funktion gilt, dass an solchen Stellen die Funktionswerte der Ableitungsfunktion immer größer als Null [math]f'\left(x\right)>0[/math] sind.[/*][*]Wenn ein Funktionswert in einem Intervall steigt oder an einigen Stellen die [b]Steigung Null[/b] hat, dann ist er hier nur [color=#980000][b]monoton steigend[/b][/color].[br][/*][/list][list][*]Wenn der Funktionsgraph in einem Intervall [i][b]nur fällt[/b][/i], dann sagt man dieser Funktionsgraph ist [color=#3c78d8][b]streng [color=#1e84cc]monoton fallend[/color][/b][/color][color=#1e84cc].[color=#000000] [/color][/color][/*][*]Für die Ableitung einer solchen Funktion gilt, dass an solchen Stellen die Funktionswerte der Ableitungsfunktion immer größer als Null [math]f'\left(x\right)<0[/math]sind.[/*][*]Wenn ein Funktionswert in einem Intervall fällt oder an einigen Stellen die [b]Steigung Null[/b] hat, dann ist er hier nur [color=#1e84cc][b]monoton fallend[/b][/color].[/*][/list]