Analytische Geometrie - Ebenen
Analytische Geometrie - Ebenen
Table des matières
- Ebenen darstellen - Parameterform
- Ebenengleichung erkunden
- Ebenengleichungen bestimmen
- Ebenengleichung aus 3 Punkten bestimmen
- Ebenengleichung aus Gerade und Punkt bestimmen
- Lagebeziehungen von Ebene und Gerade untersuchen
- mögliche Lagebeziehungen erkunden
- 1) Richtungsvektoren überprüfen
- 2a) Punktprobe
- 2b) Schnittpunkt bestimmen
- Übersicht
Ebenengleichung erkunden
Genau wie im Koordinatensystem können auf jeder Ebene alle Punkte ausgehend von einem Startpunkt (->Stützvektor) durch Bewegung in zwei Richtungen (->Richtungsvektoren) erreicht werden.[br][br]Aufgabe 1: Mache dir mit dem Widget klar, dass alle Punkte auf der Ebene durch eindeutige Koordinaten (s,t) entsprechend der Gleichung [math]\vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\2\\1\end{matrix}\right)+s\cdot\left(\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix}2\\-4\\0\end{matrix}\right)[/math] beschrieben werden kann.[br][br]Aufgabe 2: Berechne die Punkte mit den Koordinaten s=1, t=1 und s=-1, t=0.5. Nutze das Widget um zu prüfen, dass diese Punkte tatsächlich auf der Ebene liegen.[br][br]Aufgabe 3: Prüfe mit dem Widget, ob der Punkt (1|2|3) auf der Ebene liegt. Begründe die Antwort.[br][br]Aufgabe 4: Prüfe rechnerisch, ob die Punkte (4|-2|4) und (1,5|1|1,5) auf der Ebene liegen. Kontrolliere das Ergebnis mit dem Widget.[br][br][br]
Ebenengleichung aus 3 Punkten bestimmen
Gegeben sind 3 der Eckpunkte eines Tores A(0,0,0), B(0,3,0) und C(0,0,2).
Aufgabe 1:
Bestimme die Ebenengleichung der Torebene.[br][br]Hinweise: [br]-Du weißt, woraus eine Ebenengleichung generell besteht.[br]-Du weißt, wie du aus 2 Punkten einen Verbindungsvektor berechnen kannst.
Aufgabe 2:
Bestimme ebenfalls die Torebene des anderen Tores, mit den Eckpunkten D(15,0,0), E(15,3,0) und F(15,0,2).[br][br]Beschreibe, was dir auffällt.
Aufgabe 3:
Schreibe eine allgemeine Erklärung (mit Schritten, "1., 2., 3., ..."), wie du aus 3 Punkten eine Ebenengleichung bestimmen kannst.
Aufgabe 4:
Bereite dich darauf vor, die Erklärung aus Aufgabe 3 zusammen mit der Rechnung aus Aufgabe 1 vorzustellen.
Wenn du fertig bist:
Gibt es mehrere, "verschiedene" Ebenengleichungen, die die Torebene aus der Aufgabe beschreiben?
mögliche Lagebeziehungen erkunden
Sieh dir das Video https://www.youtube.com/watch?v=AeyyJo1UC94 noch einmal an. Die letzten 3 Bewegungen des Balls bis zum vermeintlichen Tor sind in der Animation dargestellt:
Aufgabe 1:
Die 3 Bewegungen lassen sich annähernd durch die Geradengleichungen:[br][br][math]g_1:\vec{x}=\left(\begin{matrix}0\\1\\2\end{matrix}\right)+t\left(\begin{matrix}0\\0\\-1\end{matrix}\right)[/math][br][math]g_2:\vec{x}=\left(\begin{matrix}8\\10\\0\end{matrix}\right)+t\left(\begin{matrix}0\\-9\\0,5\end{matrix}\right)[/math][br][math]g_3:\vec{x}=\left(\begin{matrix}8\\1\\0,5\end{matrix}\right)+t\left(\begin{matrix}-8\\0\\1,5\end{matrix}\right)[/math][br][br]dargestellt. Ordne die Geradengleichungen den 3 Bewegungen zu, begründe deine Entscheidung.
Aufgabe 2:
Beschreibe die Lage zwischen den 3 Geraden und der Torebene. Gib dazu an, wie viele Punkte die jeweilige Gerade mit der Torebene gemeinsam hat und beschreibe diese Punkte.
Aufgabe 3:
In der nächsten Animation sind alle 3 Geraden, zusammen mit ihren Richtungsvektoren eingezeichnet. Darüber hinaus kannst du mit dem Slider die Ebene parallel verschieben.
Erkläre, welche Richtungsvektoren der Geraden vollständig "in die Ebene gelegt" werden können.
Wenn du fertig bist:
Die Torebene kann z.B. durch die Ebenengleichung:[br][br][math]E:\vec{x}=\left(\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right)+s\left(\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right)+t\left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)[/math][br][br]beschrieben werden. Vergleiche die Richtungsvektoren der Geraden mit den Richtungsvektoren der Ebene.