W poprzednim przykładzie pokazaliśmy, że istnieje funkcja uwikłana równaniem

,

określona na pewnym otoczeniu punktu i taka, że (wykres tej funkcji przechodzi przez punkt ). Teraz wyznaczymy pierwszą i drugą pochodną tej funkcji. Przypomnijmy, że jeśli spełnione są założenia twierdzenia przedstawionego na poprzedniej stronie, to funkcja uwikłana jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu i pochodna tej funkcji opisana jest wzorem:

.

Ponadto, jeśli funkcja posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu , to funkcja posiada również drugą pochodną i

.

Rozwiązanie.

Odpowiedź. (wiersz 9) oraz (wiersz 13).

	Pochodną funkcji zmiennej uwikłanej równaniem możemy wyznaczyć bezpośrednio używając polecenia PochodnaFunkcjiUwikłanej(F,y,x).

Do czego możemy wykorzystać pochodne funkcji uwikłanej? Przypomnij sobie jakie własności funkcji jednej zmiennej badaliśmy na podstawie pierwszej i drugiej pochodnej? W kolejnych rozdziałach pokażemy jak wyznaczyć styczną do krzywej w danym punkcie oraz jak znaleźć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej. Teraz natomiast spróbujemy zastosować pochodną do zbadania monotoniczności funkcji . Zauważmy najpierw, że . Jeśli przyjmiemy, że interesuje nas wykres funkcji w prostokącie (patrz poniższy aplet), to wówczas

oraz .

Stąd wynika, że dla z pewnego otoczenia i pochodna zeruje się tylko w . To oznacza, że funkcja uwikłana jest malejąca na pewnym otoczeniu zawartym w .