Pochodne funkcji uwikłanej, Przykład 1.3

[br]W poprzednim przykładzie pokazaliśmy, że istnieje funkcja [math]y=f(x)[/math] uwikłana równaniem [center][math]x^3-y^3+3y=0[/math],[/center]określona na pewnym otoczeniu punktu [math]0[/math] i taka, że [math]f(0)=0[/math] (wykres tej funkcji przechodzi przez punkt [math]A=(0,0)[/math]). Teraz wyznaczymy pierwszą i drugą pochodną tej funkcji.[br][br]Przypomnijmy, że jeśli spełnione są założenia twierdzenia przedstawionego na poprzedniej stronie, to funkcja uwikłana [math]f[/math] jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu [math]x=x_0[/math] i pochodna tej funkcji opisana jest wzorem: [center][math]f'(x)=-\frac{F'\!\!_x(x,f(x))}{F'\!\!_y\left(x,f\left(x\right)\right)}[/math]. [/center]Ponadto, jeśli funkcja [math]F[/math] posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu [math]P_0[/math], to funkcja [math]f[/math] posiada również drugą pochodną i [center][math]f''(x)=-\frac{F''\!\!\!_{xx}\left(x,f\left(x\right)\right)+2F''\!\!\!_{xy}\left(x,f\left(x\right)\right)\cdot f'\left(x\right)+F''\!\!\!_{yy}\left(x,f\left(x\right)\right)\cdot\left(f'\left(x\right)\right)^2}{F'\!\!_y\left(x,f\left(x\right)\right)}[/math].[br][/center][br][u]Rozwiązanie.[/u]
[b]Odpowiedź.[/b] [br][math]f'(x)=\frac{x^2}{f^2\left(x\right)-1}[/math] (wiersz 9) oraz [math]f''(x)=-2 x \frac{x^{3} f\left(x \right) - f^4\left(x \right) + 2 f^{2}\left(x \right) - 1}{(f^2\left(x\right)-1)^3}[/math] (wiersz 13).[br][br][br][color=#666666][table][tr][td][b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][br][/b][/td][td][color=#666666][i][/i][/color][color=#666666][i][color=#666666][size=100]Pochodną funkcji zmiennej [math]x[/math] uwikłanej równaniem [math]F(x,y)=0[/math] możemy wyznaczyć bezpośrednio używając polecenia [b]PochodnaFunkcjiUwikłanej[/b](F,y,x). [/size][/color][/i][/color][/td][/tr][/table][/color]
Do czego możemy wykorzystać pochodne funkcji uwikłanej? Przypomnij sobie jakie własności funkcji jednej zmiennej badaliśmy na podstawie pierwszej i drugiej pochodnej?[br][br]W kolejnych rozdziałach pokażemy jak wyznaczyć styczną do krzywej w danym punkcie oraz jak znaleźć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej. Teraz natomiast spróbujemy zastosować pochodną do zbadania monotoniczności funkcji [math]f[/math].[br]Zauważmy najpierw, że [math]f'(x)=\frac{x^2}{f^2\left(x\right)-1}=\frac{x^2}{(f\left(x\right)-1)(f\left(x\right)+1)}[/math].[br]Jeśli przyjmiemy, że interesuje nas wykres funkcji [math]f[/math] w prostokącie [math][-1,1]\times[-1,1][/math] (patrz poniższy aplet), to wówczas[center] [math]f(x)-1<0[/math] oraz [math]f\left(x\right)+1>0[/math]. [/center]Stąd wynika, że [math]f'(x)\le0[/math] dla [math]x[/math] z pewnego otoczenia [math]0[/math] i pochodna zeruje się tylko w [math]x=0[/math]. To oznacza, że funkcja uwikłana [math]f[/math] jest malejąca na pewnym otoczeniu [math]0[/math] zawartym w [math]\left[-1,1\right][/math]. [br]

Information: Pochodne funkcji uwikłanej, Przykład 1.3