Oft ist es nützlich einen Vektor zu bestimmen, der genau von einem Punkt A zu einem anderen Punkt B zeigt. Einen solchen Vektor [math]\vec{AB}[/math] nennt man [b]Verbindungsvektor [i]von A nach B[/i][/b].[br][br]Hier soll am Beispiel der Punkte A(0|1|1) und B(-3|4|3) illustriert werden, wie man ihn berechnen kann, wenn man bloss die Koordinaten der Punkte kennt.[br][br]Zunächst ist im folgenden Applet einfach mal der Verbindungsvektor [i]von A nach B,[/i] [math]\vec{AB}[/math], eingezeichnet:

Wenn man sich daran erinnert, wie die Vektoraddition funktioniert, ist es nicht allzu schwer zu erkennen, dass man den Verbindungsvektor [i]von A nach B[/i], [math]\vec{AB}[/math], erhält, wenn man zum [u]umgedrehten[/u] Ortsvektor von A den Ortsvektor von B addiert - sprich wenn man also [br][br] [math]-\vec{r_{_A}}+\vec{r_{_B}}[/math][br][br]rechnet:

Mit [math]\vec{r_{_A}}=\left(\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right)[/math] und [math]\vec{r_{_B}}=\left(\begin{matrix}-3\\4\\3\end{matrix}\right)[/math] folgt also:[br][br][math]\vec{AB}=-\vec{r_{_A}}+\vec{r_{_B}}=\vec{r_{_B}}-\vec{r_{_A}}=\left(\begin{matrix}-3\\4\\3\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-3\right)-0\\4-1\\3-1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\\2\end{matrix}\right)[/math][br][br]Um den Verbindungsvektor [i]von A nach B[/i] zu berechnen, muss man einfach vom Ortsvektor des [u]Endpunktes[/u] den Ortsvektor des [u]Anfangspunktes[/u] abziehen![br][br]Dies gilt natürlich auch im Allgemeinen: Um den Verbindungsvektoren zwischen zwei Punkten zu berechnen, muss man einfach vom [b]Ortsvektor des [u]Endpunktes[/u] [/b]den [b]Ortsvektor des [u]Anfangspunktes[/u][/b] subtrahieren. [br][br]D.h im Allgemeinen gilt für A(A[sub]x[/sub]|A[sub]y[/sub]|A[sub]z[/sub]) und B(B[sub]x[/sub]|B[sub]y[/sub]|B[sub]z[/sub]):[br] [br] [math]\vec{AB}=\left(\begin{matrix}B_x-A_x\\B_y-A_y\\B_z-A_z\end{matrix}\right)[/math][br][br][color=#ff0000][b]Vorsicht: [/b]Aufpassen, dass man jeweils den Ortsvektor des Anfangspunktes vom Ortsvektor des Endpunktes abzieht - sonst erhält man natürlich den Verbindungsvektor in die entgegengesetzte Richtung. Sprich rechnet man im obigen Beispiel den Ortsvektor von A minus den Ortsvektor von B, so erhält man:[/color][br][br][math]\vec{BA}=\vec{r_{_A}}-\vec{r_{_B}}=\left(\begin{matrix}0\\1\\1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}\begin{matrix}-3\\4\\3\end{matrix}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0-\left(-3\right)\\1-4\\1-3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\\-2\end{matrix}\right)=-\vec{AB}[/math]