Beim Bau eines Hauses sollen die Grundmauern senkrecht aufeinandertreffen. Auf dem Foto siehst du, wie zwei Auszubildende ein Dreieck abstecken.[br]Sie markieren mit 3m, 4m und 5m langen Seilen ein Dreieck. Für das Dreieck gilt: [math]\left(3m\right)^2+\left(4m\right)^2=\left(5m\right)^2[/math][br]Man behauptet: Das abgesteckte Dreieck ist rechtwinklig. Stimmt das?

a) Konstruiere ein beliebiges Dreieck an 3 Punkten.[br]b) Konstruiere an jede Dreiecksseite ein Quadrat.[br]c) Lasse den Flächeninhalt jedes Quadrats berechnen.[br]d) Lasse die Summe der Flächeninhalte der kleinen Flächen berechnen.[br]

Verschiebe den Punkt C derart, dass die Summe der Flächeninhalte der kleinen Quadrate genauso groß ist wie der Flächeninhalt des großen Quadrats.

Für jedes Dreieck ABC gilt: Wenn [math]c^2=a^2+b^2[/math] , dann ist [math]\gamma=90°[/math].

Verschiebe den Punkt C längs der Höhe hc nach unten. Es entsteht ein stumpfwinkliges Dreieck [math]\left(\gamma>90°\right)[/math].[br]Die Seiten a und b werden kürzer, also

Verschiebe nun den Punkt C längs der Verlängerung der Höhe nach oben. Es entsteht ein spitzwinkliges Dreieck [math]\left(\gamma<90°\right)[/math].[br]Die Seiten a und b werden länger, also

Aus beiden Überlegungen folgt: Wenn Winkel [math]\gamma\ne90°[/math] ist, dann gilt [math]a^2+b^2\ne c^2[/math]. Nur im Falle [math]\gamma=90°[/math] gilt somit [math]c^2=a^2+b^2[/math].