[right][size=50][color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/jgetfdxu][color=#0000ff][u][i][b]Berührorte[/b][/i][/u][/color][/url] ([color=#ff7700][i][b]21.01.2022[/b][/i][/color])[/size][br][size=50][/size][size=50]Diese Seite ist auch eine Ativität des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/size][size=50][/size][br][/right][size=85]Welches ist der [color=#ff7700][i][b]Ort[/b][/i][/color], in welchem sich die [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]Geradenbüschel[/b][/i][/color] unter [color=#0000ff][i][b]konstantem[/b][/i][/color] Winkel schneiden?[br]Der [color=#ff7700][i][b]Ort[/b][/i][/color], in welchem sich die [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]Geradenbüschel[/b][/i][/color][/size] unter [color=#0000ff][i][b]konstantem[/b][/i][/color] Winkel (modulo [b]180°[/b]) schneiden,[br]ist ein [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]: P[color=#0000ff][b]eripheriewinkelsatz[/b][/color]; siehe das Applet unten![br][br]Welches ist der [color=#ff7700][i][b]Ort[/b][/i][/color], in welchem sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] unter [color=#0000ff][i][b]konstantem[/b][/i][/color] Winkel schneiden?[br]Ein [color=#ff0000][i][b]elliptisches Kreisbüschel [/b][/i][/color]besteht aus allen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] durch zwei (verschiedene) [color=#ff7700][i][b]Grund-Punkte[/b][/i][/color].[br][br]Der [color=#ff7700][i][b]Ort[/b][/i][/color], in welchem sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] unter einem [color=#0000ff][i][b]konstanten[/b][/i][/color] Winkel (modulo [b]180°[/b]) schneiden,[br]ist [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] eine [b]CASSINI[/b]-[color=#ff7700][i][b]Kurve[/b][/i][/color], manchmal auch [b]CASSINI[/b]-[color=#ff7700][i][b]Lemniskate[/b][/i][/color] genannt.[br]"[color=#0000ff][i][b]Möbiusgeometrisch[/b][/i][/color]" bedeutet: es gibt eine geeignete [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color], unter der die [color=#ff7700][i][b]Kurve[/b][/i][/color] sich [i][b]euklidisch[/b][/i] als[br][/size][size=85][size=85][b]CASSINI[/b]-[color=#ff7700][i][b]Kurve[/b][/i][/color][/size] outet. [br][/size][size=85][size=85][size=85][b]CASSINI[/b]-[color=#ff7700][i][b]Kurven[/b][/i][/color][/size][/size] werden oft [color=#38761D][i][b]definiert[/b][/i][/color] als Ort der [color=#ff7700][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [math]z\in\mathbb{C}[/math], die der Gleichung [br] - [math]\left|z-f_1\right|\cdot\left|z-f_2\right|=\mathbf{const}[/math] mit den 2 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] [math]f_1,f_2\in\mathbb{C}[/math] genügen; [br] - gewissermaßen das Pendant zur [color=#38761D][i][b]Gärtnerkonstruktion[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color] [math]\left|z-f_1\right|+\left|z-f_2\right|=\mathbf{const}[/math].[br][br]Vorausgesetzt ist, dass die 2 [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Grundpunkt-Paare[/b][/i][/color][/size] der beiden [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] aus 4 verschiedenen [color=#ff7700][i][b]Punkten[/b][/i][/color] besteht.[br][color=#0000ff][i][b]Möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] kann man diese [color=#ff7700][i][b]Grundpunkt-Paare[/b][/i][/color] repräsentieren durch[br] [b] (*)[/b] [math]p,p'=-p[/math] und [math]p''=-\frac{1}{p},p'''=\frac{1}{p}[/math], mit [math]p=\rho\cdot e^{i\cdot\varphi}\in\mathbb{C}[/math] [br] ([color=#38761D][i][b]"Normalform[/b][/i][/color]", [size=50]siehe dazu[/size] [math]\hookrightarrow[/math] [u][color=#0000ff][i][b][size=50][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168947]Möbiusebene Kap. Lage von 4 Punkten[/url][/size][/b][/i][/color][/u])[br][br]Der gesuchte [color=#ff7700][i][b]Peripherie-Winkel-Ort[/b][/i][/color] für die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] entsteht aus einem [color=#00ffff][i][b]Peripherie-Winkel-Kreis[/b][/i][/color] über der [color=#00ffff][i][b]Strecke[/b][/i][/color] [math]p^2...\frac{1}{p^2}[/math][br]unter der [color=#38761D][i][b]komplexen Wurzel-Funktion[/b][/i][/color] (siehe [math]\sqrt{ }[/math]-Konstruktion). [br]Die [size=85][color=#38761D][i][b]komplexen Wurzel-Funktion[/b][/i][/color] bildet [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ab auf [/size][/size][size=85][size=85][size=85][b]CASSINI[/b]-[color=#ff7700][i][b]Kurven[/b][/i][/color][/size]: [math]\left|z^2-m\right|^2=\left|z-f\right|^2\cdot\left|z+f\right|^2=r^2[/math] mit [math]f=\sqrt{m}[/math]. [/size][br][br]Zur Erkundung der Zusammenhänge kann man im obigen Applet die Lage der 4 [color=#ff7700][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] [br]durch Bewegen von [math]p[/math] ändern, die [color=#38761D][i][b]Normalform[/b][/i][/color] [b](*) [/b]bleibt dabei erhalten.[br]Der [/size][size=85][size=85][color=#00ffff][i][b]Peripherie-Winkel-Kreis[/b][/i][/color] über der [color=#00ffff][i][b]Strecke[/b][/i][/color] [math]p^2...\frac{1}{p^2}[/math][/size] wird durch Bewegen des Mittelpunktes [math]m[/math] auf der [color=#00ffff][i][b]Mittelsenkrechten[/b][/i][/color][br]geändert. Auf dem [color=#00ffff][i][b]Kreis[/b][/i][/color] ist der Punkt [math]z^2[/math] beweglich, mit ihm bewegt sich der Punkt [math]z[/math] auf der [/size][size=85][size=85][b]CASSINI[/b]-[color=#ff7700][i][b]Kurve.[/b][/i][/color][/size][/size]

[size=85]Der Zusammenhang des [color=#00ffff][i][b]Kreis-Peripherie-Winkels[/b][/i][/color] [math]\alpha[/math] und des [b]CASSINI[/b]-[color=#cc0000][i][b]Winkel[/b][/i][/color] [math]\beta[/math] ist angegeben; [br]zu berücksichtigen ist Orientierung der Winkel: sie sind nur modulo [b]180°[/b] bestimmt. [br]Daher haben wir verschiedene Gleichungen angeführt. [br]Die wesentliche Gleichung [math]2\cdot\varphi+\alpha+\beta=180°[/math] können wir nicht beweisen, [br]es dürfte für diesen Zusammenhang auch schwerlich einen [color=#38761D][i][b]elementargeometrischen Beweis[/b][/i][/color] geben!?[br][br]Bemerkenswert ist, dass bei jeder Lage der [b]4[/b] [color=#ff7700][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] die [b]CASSINI-[/b][/size][size=85][b][size=85][color=#cc0000][i][b]Winkel[/b][/i][/color][/size][/b] [math]\beta=0°[/math] und [math]\beta=90°[/math] auf dieselbe Weise[br]bestimmt sind:[br][/size][list][*][size=85]Die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der beiden [color=#ff0000][i][b]Büschel[/b][/i][/color] berühren sich auf der [b]CASSINI[/b]-[color=#ff7700][i][b]Kurve[/b][/i][/color], [math]\beta=0°[/math], [br]wenn der [color=#00ffff][i][b]Mittelpunkt[/b][/i][/color] [math]m[/math] des [color=#00ffff][i][b]Peripheriekreises[/b][/i][/color] auf der [math]y[/math]-Achse liegt.[/size][br][/*][*][size=85][size=85]Die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der beiden [color=#ff0000][i][b]Büschel[/b][/i][/color] schneiden sich rechtwinklig [size=85]auf der [b]CASSINI[/b]-[color=#ff7700][i][b]Kurve[/b][/i][/color],[/size] [math]\beta=90°[/math], [br]wenn der [color=#00ffff][i][b]Mittelpunkt[/b][/i][/color] [math]m[/math] auf der [math]x[/math]-Achse liegt.[/size][br][br][/size][/*][/list][size=85][color=#cc0000][i][b]Sonderlagen der Grundpunkte: [/b][/i][/color][br] - die [color=#ff7700][i][b]Punkte[/b][/i][/color] sind [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color]; sie liegen dann auf der x-Achse ([math]\alpha=0[/math]), [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/bqrrxkyv][color=#0000ff][u][i][b]CASSINI-Peripheriewinkel 1[/b][/i][/u][/color][/url], [br] auf der [math]y[/math]-Achse oder auf dem [color=#BF9000][i][b]Einheitkreis[/b][/i][/color],[br] - die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size] liegen spiegelbildlich auf den [color=#B45F06][i][b]Winkelhalbierenden[/b][/i][/color],[br] - die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size][/size] sind die Schnittpunkte der [/size][size=85][size=85][color=#B45F06][i][b]Winkelhalbierenden[/b][/i][/color][/size] mit dem [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Einheitkreis[/b][/i][/color][/size]: [color=#0000ff][i][b][br] harmonische Lage[/b][/i][/color] [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/jgetfdxu#material/rg3n43jk][color=#0000ff][u][i][b]CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel 2[/b][/i][/u][/color][/url][/size]