In diesem Applet wird ein starrer Stab einem beliebigen periodischen Bewegungsvorgang der Ebene (zunächst mit der Umlaufzahl [math]n=-2[/math]) unterworfen. [br][br][b]Anleitung[/b][br][br]1.Teil:[br]Beobachte bei jeder Veränderung die Auswirkung auf die angezeigten Größen:[list][*]Setze die Häkchen bei [math]F_1[/math], [math]F_2[/math] und [math]F_S[/math] und beobachte die Orbits.[/*][*]Verändere [math]\alpha_1[/math] bzw. [math]\alpha_2[/math].[/*][*]Verschiebe die Ausgangslage des Stabes ([math]t=0[/math], gestrichelte Linie).[/*][*]Verschiebe die Endpunkte des Stabes einzeln.[/*][*]Verändere die Umlaufzahl [math]n[/math] des Bewegungsvorgangs.[/*][/list]Welche Beziehung besteht zwischen den beige unterlegten Größen? [br]Wie ergibt sich hieraus der Satz von Holditch als Spezialfall? [br][br]2.Teil:[br]Lade das Applet neu.[br][list][*]Setze das Häkchen bei "Woolhouse-Interpretation".[/*][*]Verändere die Parameter und interpretiere die neu hinzugekommenen Größen geometrisch. [br][/*][*]Setze das Häkchen bei "vier Punkte". Formuliere den in der Gleichung dargestellten Sachverhalt mit Worten.[br][/*][/list][br][b]Erläuterung und mathematischer Hintergrund[/b][br][br][b]1. Teil[/b][br][br]Die Endpunkte [math]P_1[/math] und [math]P_2[/math] des Stabes durchlaufen hier nicht mehr eine vorgegebene Kurve wie beim Satz von Holditch, sondern beliebige Orbits, die man durch Setzen der Häkchen bei [math]F_1[/math] und [math]F_2[/math] sichtbar machen kann. Aus den zugehörigen orientierten Flächeninhalten [math]F_1[/math] und [math]F_2[/math] wird das gewichtete arithmetische Mittel mit den Gewichten [math]\alpha_1[/math] und [math]\alpha_2[/math] gebildet, wobei [math]\alpha_1+\alpha_2=1[/math] ist (obere beige hinterlegte Formel).[br][br]Der Teilungspunkt [math]S[/math] des Stabes kann als Schwerpunkt von [math]P_1[/math] und [math]P_2[/math] mit den baryzentrischen Koordinaten (=relativen Massen) [math]\alpha_1[/math] und [math]\alpha_2[/math] aufgefasst werden. Diese können auch negativ sein, so dass sich [math]S[/math] außerhalb der Strecke [math]\overline{P_1P_2}[/math] befinden kann. Der Orbit von [math]S[/math] kann durch Setzen des Häkchens bei [math]F_S[/math] (Mitte rechts) sichtbar gemacht werden. Dann gilt:[br][br][b]Erweiterter Satz von Holditch [/b][br]Seien [math]P_1[/math], [math]P_2[/math] und [math]S[/math] drei Punkte auf einer Geraden, die einem ebenen periodischen Bewegungsvorgang mit der Umlaufzahl [math]n[/math] unterworfen wird, seien [math]F_1[/math], [math]F_2[/math] und [math]F_S[/math] die orientierten Flächeninhalte der von ihren Orbits umlaufenen Flächen und sei [math]S=\alpha_1P_1+\alpha_2P_2[/math] mit [math]\alpha_1+\alpha_2=1[/math]. Seien weiter [math]l:=\left|P_1P_2\right|[/math] und [math]s_i:=\alpha_i\cdot l[/math] ([math]i=1,2[/math]). Dann gilt: [math]\sum_{i=1}^2\alpha_iF_i-F_S=n\cdot\pi\cdot s_1\cdot s_2[/math].[br][br]Der ursprüngliche Satz von Holditch folgt aus dem Spezialfall [math]n=1[/math] und [math]F_1=F_2[/math].[br][br][b]2. Teil[/b][br][br]Setzt man das Häkchen bei "Woolhouse-Interpretation", so sieht man die Bahnkurve des Schwerpunkts [math]S[/math] sowie zwei mitbewegte Kreise um [math]S[/math] durch [math]P_1[/math] bzw. [math]P_2[/math]. Diese werden von [math]P_1[/math] und [math]P_2[/math] während einer Periode mehrfach im oder gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, je nach dem, welchen Wert die Umlaufzahl [math]n[/math] des Bewegungsvorgangs hat. Diese "relativen Orbits" oder "Orbits im Schwerpunktsystem" schließen den orientierten Flächeninhalt [math]F_{rel,i}=n\pi s_i^2[/math] ein, der oben rechts im Fenster angezeigt wird. [br][br]Eine einfache Umrechnung zeigt, dass das gewichtete arithmetische Mittel [math]\sum_{i=1}^2\alpha_i\left(n\pi s_i^2\right)[/math] aus den Flächen dieser relativen Orbits nichts anderes ist als [math]n\cdot\pi\cdot s_1\cdot s_2[/math].[br][br]Woolhouse hat erkannt, dass sich die erweiterte Holditch-Gleichung in dieser Lesart auf diskrete Massenverteilungen mit beliebig vielen Massenpunkten ausdehnen lässt. Durch Klick auf "vier Punkte" wird dies im Applet visualisiert. [br][br][b]Satz von Woolhouse[/b][br][i]W.S.B. Woolhouse, [url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015065988027&view=1up&seq=835]The Lady's And Gentleman's Diary (1859), 89[/url][/i][br][br]Sei [math]c:\mathbb{R}\longrightarrow Isom\left(E\right)[/math] ein [math]T[/math]-periodischer Bewegungsvorgang der euklidischen Ebene mit der Umlaufzahl [math]n[/math]. [br]Seien [math]P_1,..,P_m\in E[/math] und [math]\alpha_1,...,\alpha_m\in\mathbb{R}[/math] mit [math]\sum_{i=1}^m\alpha_i=1[/math]. (Falls alle [math]\alpha_i>0[/math] sind, können diese als [i][b]relative Massen[/b][/i] einer [i][b]diskreten Massenverteilung[/b][/i] in den Punkten [math]P_i[/math] interpretiert werden, jedoch sind hier auch negative [math]\alpha_i[/math] zulässig.) Sei [math]S:=\sum_{i=1}^m\alpha_iP_i[/math] (der [i][b]Schwerpunkt[/b] [/i]dieser Massenverteilung). Für einen beliebigen Punkt [math]P\in E[/math] sei [math]F_P[/math] der orientierte Flächeninhalt der vom Orbit von [math]P[/math] umlaufenen Fläche. Statt [math]F_{p_i}[/math] schreiben wir auch kurz [math]F_i[/math]. Sei [math]s_i:=\left|SP_i\right|[/math] [math]\left(i=1,...,m\right)[/math]. Dann gilt:[br][center][math]\sum_{i=1}^m\alpha_iF_i=F_S+\sum_{i=1}^m\alpha_i\left(n\pi s_i^2\right)[/math].[/center]In Worten:[br][b]Das [b]gewichtete Mittel der orientierten Flächeninhalte der Orbits der [math]P_i[/math] ist gleich der Summe aus dem [/b]orientierten Flächeninhalt, der vom Orbit des Schwerpunkts [math]\bf \it S[/math] umlaufen wird, und dem gewichteten Mittel der orientierten Flächeninhalte der Orbits der [i]Relativbewegung [/i]der [math]\bf \it P_i[/math] bezüglich [math]\bf \it S[/math].[br][/b]