In een traktaat Evenwicht in het platte vlak neemt hij volgende stelling op:[br]"[i]Hoe breng je een driehoek in evenwicht, of de overwinning van de geest op de materie[/i]".[br]Met '[i]in evenwicht brengen[/i]' bedoelt Archimedes de driehoek zo aan een draad ophangen dat de driehoek stil blijft hangen, wat wij benoemen als '[i]het zwaartepunt bepalen[/i]'.[br]In gewone taal overlopen we de redenering die Archimedes volgt om dit punt te bepalen.

[list=1][*]Bepaal D, het middelpunt van [BC]. Het lijnstuk [AD] is een zwaartelijn van [math]\Delta[/math]ABC.[br]Archimedes gaat nu bewijzen dat het zwaartepunt van deze driehoek ergens op deze zwaartelijn moet liggen.[/*][*]Hij vertrekt van het tegendeel: Het zwaartepunt T ligt NIET op [AD], maar op een lijnstuk [AF].[/*][*]Bepaal E, het middelpunt van [AB] en Z, het middelpunt van [AC].[br]Verbind je E, D en Z, dan verkrijg je 4 kleine driehoeken, gelijkvormig aan [math]\Delta[/math]ABC.[/*][*]Omdat [math]\Delta[/math]BDE en [math]\Delta[/math]DCZ gelijkvormig zijn aan [math]\Delta[/math]ABC, liggen binnen deze kleine driehoeken de zwaartepunten K en L op dezelfde plaats als T in [math]\Delta[/math]ABC.[/*][*]Het zwaartepunt N van de twee kleine driehoeken is het midden van [KL].[/*][*]De bovenste twee driehoekjes vormen een parallellogram. Het zwaartepunt van dit parallellogram is het snijpunt M van de diagonalen.[/*][*]Het zwaartepunt van de 4 driehoekjes (en dus van [math]\Delta[/math]ABC ligt dus op het lijnstuk [MN].[/*][/list]Je ziet dat dit niet het geval is. Archimedes redeneert als volgt:[br]- Als T op [MN] moet liggen, dan moeten de lijnstukken [AT] en [MN] elkaar kruisen.[br]- Maar je vanuit de gegevens kan je ook aantonen dat [AT] en [MN] steeds evenwijdig moeten lopen.[br]Dit is tegenstrijdig. T moet op de zwaartelijn [AD] liggen.[br][math]\Delta[/math]ABC heeft natuurlijk drie zwaartelijnen en dus is het zwaartepunt van een driehoek het snijpunt van de 3 zwaartelijnen en dit punt ligt exact op 2/3 van de zwaartelijn. Op dat punt kan je een driehoek ophangen.[br]Deze eigenschap zal Archimedes in Methode gebruiken om het volume van een cilindersegment te berekenen.

Dat de afstand van een hoekpunt van een driehoek naar het zwaartepunt 2/3e is van de lengte van de zwaartelijn vanuit dit hoekpunt is voor Archimedes te vanzelfsprekend om te bewijzen.[br]Wetend dat het zwaartepunt het snijpunt is van de drie zwaartelijnen is de afleiding gemakkelijk te vinden.[br][list][*]In [math]\Delta[/math]ABC zijn [AN] en [BM] de zwaartelijnen uit A en B, die elkaar snijden in het zwaartepunt Z.[br][/*][*]Omdat M en N de middelpunten zijn van de zijden [AC] en [BC] is [MN] is een middenparallel van [math]\Delta[/math]ABC en is [math]\Delta[/math]CMN gelijkvormig met [math]\Delta[/math]ABC.[/*][*]Met gelijkvormigheidsfactoren 2 is |AZ| = 2|ZN| en |BZ| = 2|ZM|.[/*][*]Bijgevolg is |AZ| = [math]\frac{2}{3}[/math] |AN| en |BZ| = [math]\frac{2}{3}[/math] |BM|, wat we moesten bewijzen.[/*][/list]