Triangle de Sierpinski

On considère un triangle équilatéral de côté 10 cm.[br]A chaque étape, on construit dans chaque triangle équilatéral coloré, un triangle équilatéral blanc [br]en ayant pour sommets les milieux des côtés. [br]L'applet ci-dessous montre les étapes 0 à 4.[br][br][b]L'objectif est de déterminer l'aire de la surface colorée au bout de la quatrième étape.[/b]
1. Quelle est l'aire du triangle équilatérale rouge dont la longueur des côtés est 10 cm ?[br]
2. Soit a[sub]n[/sub] l'aire de la surface colorée à l'étape n.[br]Que vaut a[sub]0 ?[/sub][br]
3. Déterminer la relation entre a[sub]1 [/sub]et a[sub]0[/sub]
4. Déterminer la relation entre a[sub]2 [/sub]et a[sub]1[/sub]
5. Déterminer plus généralement la relation entre a[sub]n+1 [/sub]et a[sub]n .[/sub]
6. Quelle est la nature de la suite a[sub]n [/sub]? Déterminer la raison et le premier terme.
7. En déduire l'aire de la surface colorée au bout de la quatrième étape.
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Information: Triangle de Sierpinski