On considère un triangle équilatéral de côté 10 cm.[br]A chaque étape, on construit dans chaque triangle équilatéral coloré, un triangle équilatéral blanc [br]en ayant pour sommets les milieux des côtés. [br]L'applet ci-dessous montre les étapes 0 à 4.[br][br][b]L'objectif est de déterminer l'aire de la surface colorée au bout de la quatrième étape.[/b]
1. Quelle est l'aire du triangle équilatérale rouge dont la longueur des côtés est 10 cm ?[br]
[math]5\sqrt{75}[/math] OU [math]25\sqrt{3}[/math]
2. Soit a[sub]n[/sub] l'aire de la surface colorée à l'étape n.[br]Que vaut a[sub]0 ?[/sub][br]
[math]a_0=25\sqrt{3}[/math]
3. Déterminer la relation entre a[sub]1 [/sub]et a[sub]0[/sub]
[math]a_1=\frac{3}{4}a_0[/math]
4. Déterminer la relation entre a[sub]2 [/sub]et a[sub]1[/sub]
[math]a_2=\frac{3}{4}a_1[/math]
5. Déterminer plus généralement la relation entre a[sub]n+1 [/sub]et a[sub]n .[/sub]
[math]a_{n+1}=\frac{3}{4}a_n[/math]
6. Quelle est la nature de la suite a[sub]n [/sub]? Déterminer la raison et le premier terme.
(a[sub]n[/sub])[sub] [/sub]est une suite géométrique de raison [math]\frac{3}{4}[/math] et de premier terme [math]25\sqrt{3}[/math]
7. En déduire l'aire de la surface colorée au bout de la quatrième étape.
[math]a_4=\left(\frac{3}{4}\right)^4\times25\sqrt{3}=\frac{2025}{256}\sqrt{3}[/math] environ égale à 13,7 unité d'aire