Sia y=f(x) una funzione e l'intervallo [a,b][math]\subset[/math]D(f), tale che[br][list=1][*]f è [b]continua [/b]nell'intervallo chiuso [a,b][/*][*]f è [b]derivabile [/b]nell'intervallo aperto ]a,b[[br][/*][/list]allora esiste almeno un punto [b]x[sub]0[/sub][/b][math]\in[/math][b]]a,b[[/b] tale che[br][center][b][size=200][math]\large f'\left(x_0\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[br][/math][/size][br][/b][/center]
La validità del Teorema di Lagrange garantisce l'esistenza di almeno una retta tangente alla curva parallela alla retta secante la funzione negli estremi [b]a[/b] e [b]b[/b].
[list=1][*]Variando [b]n[/b] verifica la tesi del Teorema di Lagrange con differenti grafici[br][/*][*]Sovrapponendo f(a) con f(b) osserva che si verifica il Teorema di Rolle[/*][/list]
Consideriamo la seguente funzione:[br][math]h(x)=f(x)\cdot(b-a)-x\cdot(f(b)-f(a))[/math][br]Questa funzione è la composizione delle funzioni y=x, continua e derivabile in [math]\mathbb{R}[/math] ed f(x), che verifica le ipotesi, quindi di conseguenza h(x) verifica le ipotesi 1 e 2 del Teorema di Lagrange.[br]Si calcola quindi:[br][math]h\left(a\right)=f(a)\cdot(b-a)-a\cdot(f(b)-f(a))=b\cdot f(a)\cancel{-a\cdot f(a)}-a\cdot f(b)+\cancel{a\cdot f(a)}=b\cdot f(a)-a\cdot f(b)[/math][br][math]h\left(b\right)=f(b)\cdot(b-a)-b\cdot(f(b)-f(a))=\cancel{b\cdot f(b)}-a\cdot f(b)-\cancel{b\cdot f(b)}+b\cdot f(a)=b\cdot f(a)-a\cdot f(b)[/math][br]ovvero[br][math]h(a)=h(b)[/math][br]cioè h(x) verifica anche la terza ipotesi del Teorema di Rolle, per cui:[br][math]\exists x_0\in ]a,b[ \; / \;h'(x_0)=0[/math][br]La derivata di h(x) è:[br][math]h'(x)=f'(x)\cdot(b-a)-(f(b)-f(a))[/math][br]e per quanto detto sopra[br][math]h'(x_0)=f'(x_0)\cdot(b-a)-(f(b)-f(a))=0 \rightarrow f'(x_0)\cdot(b-a)=f(b)-f(a)[/math][br]da cui la tesi, ovvero[br][center][math]f'\left(x_{0}\right)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/math][/center][br]