El conjunto de puntos a los cuales su potencia con respecto a dos círculos no concéntricos es igual a la recta perpendicular a la recta que une los centros de dos círculos.[br][br][b]Demostración:[br][br][/b]En términos de coordenadas Cartesianas rectangulares, el cuadrado de la distancia [math]d[/math] entre cualquier dos puntos [math]\left(x,y\right)[/math] y [math]\left(a,b\right)[/math] es: [math]\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2[/math]. [br][br]Por lo tanto, la potencia de [math]\left(x,y\right)[/math] con respecto al círculo con centro [math]\left(a,b\right)[/math] y radio [math]r[/math] es: [math]d^2-r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2-r^2[/math]. [br][br]Particularmente, el círculo mismo, siendo el conjunto de puntos [math]\left(x,y\right)[/math] con potencia cero tiene la siguiente ecuación: [math]\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2-r^2=0[/math] ([b]Ecuación 2.22[/b]).[br][br]La misma ecuación, expresada como [math]\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2[/math], expresa el círculo como el conjunto de puntos los cuales su distancia a [math]\left(a,b\right)[/math] tiene el valor constante [math]r[/math]. [br][br]Cuando el círculo se expresa como [math]x^2+y^2-2ax-2by+c=0[/math] ([b]Ecuación 2.23[/b], donde [math]c=a^2+b^2-r^2[/math]), la potencia de un punto arbitrario [math]\left(x,y\right)[/math] es nuevamente expresada por el lado izquierdo de la ecuación, o sea, [math]x^2+y^2-2ax-2by+c[/math]. [br][br]Otro círculo teniendo el centro [math]\left(a,b\right)[/math] pero con radio distinto tiene una ecuación de la misma forma con un [math]c[/math] distinto, y cualquier círculo teniendo un centro distinto tiene una ecuación de la forma [math]x^2+y^2-2a'x-2b'y+c'=0[/math] ([b]Ecuación 2.24[/b]), donde [math]a'\ne a[/math] o [math]b'\ne b[/math] o ambas. Por lo tanto, podemos utilizar las ecuaciones 2.23 y 2.24 para los dos círculos no concéntricos mencionados en el Teorema. El conjunto de todos los puntos [math]\left(x,y\right)[/math] los cuales sus potencias con respecto a los dos círculos son iguales es: [br][br][math]x^2+y^2-2ax-2by+c=x^2+y^2-2a'x-2b'y+c'[/math]. [br][br]Como [math]x^2+y^2[/math] cancelan, entonces el conjunto de puntos es la recta:[br][br][math]\left(a'-a\right)x+\left(b'-b\right)y=\frac{1}{2}\left(c'-c\right)[/math].[br][br]Escogiendo al eje de x para que una ambos centros, podemos expresar los dos círculos de manera más simple: [br][br][math]x^2+y^2-2ax+c=0[/math], [math]x^2+y^2-2a'x+c'=0[/math] ([b]Ecuación 2.25[/b]), donde [math]a'\ne a[/math]. Entonces el conjunto de puntos se convierte en[br][br][math]x=\frac{c'-c}{2\left(a'-a\right)}[/math][br][br]Esta recta, siendo paralela al eje de y, es perpendicular al eje de x, la cual une a los centros.[br][br]Como la recta puede ser definida geométricamente en término de los círculos (conteniendo todos los puntos de potencia igual), pudimos haber tomado esa recta como el eje de y mismo, como en la figura que veremos a continuación. Por lo tanto, cualquier dos círculos no concéntricos pueden ser expresados de manera simple en la forma[br][br][math]x^2+y^2-2ax+c=0[/math], [math]x^2+y^2-2a'x+c=0[/math] ([b]Ecuación 2.26[/b]). [br][br]Entonces, el conjunto de puntos es [math]x=0[/math]. [br][br]Hemos demostrado el Teorema.