[size=100][math]\forall n\in\mathbb{N}:3^1+3^2+3^3+...+3^n=\frac{3}{2}\left(3^n-1\right)[/math][br][/size][br]Trabajo previo[br][size=100][br][math]p\left(1\right):3^1=\frac{3}{2}\left(3^1-1\right)[/math][br] [math]3=3[/math][size=85] es "V"[br][br][math]P\left(2\right):3^1+3^2=\frac{3}{2}\left(3^2-1\right)[/math][br] [math]3+9=\frac{3}{2}\left(9-1\right)[/math] [br] [math]12=12[/math][/size] es "V"[br][br][math]p\left(k\right):3^1+3^2+3^3+...+3^k=\frac{3}{2}\left(3^k-1\right)[/math][br][br][math]p\left(k+1\right):3^1+3^2+3^3+...+3^{k+1}=\frac{3}{2}\left(3^{k+1}-1\right)[/math][br][br][/size]Lo primero:[br][br]1) [math]p\left(1\right):3^1=\frac{3}{2}\left(3^1-1\right)[/math][br] [math]3=3[/math] es Verdad[br][br]2)Suponer que: [math]p\left(k\right):3^1+3^2+3^3+...+3^k=\frac{3}{2}\left(3^k-1\right)[/math] es "verdad" [math]\longrightarrow[/math] hip. i.[br] [br]Demostrar que: [math]p\left(k+1\right):3^1+3^2+3^3+...+3^{k+1}=\frac{3}{2}\left(3^{k+1}-1\right)[/math] es "verdad"[br] [br] De: [math]3^1+3^2+3^3+...+3^{k+1}=[/math][br] [br] [math]=3^1+3^2+3^3+...+3^k+3^{k+1}[/math][br] [br] [math]=\left(3^1+3^2+3^3+...+3^k\right)+3^{k+1}[/math] [br] [br] Por hip. i.[br] [br] [math]=\frac{3}{2}\left(3^k-1\right)+3^{k+1}[/math] [br] [br] [math]=\frac{\left(3^{k+1}-3\right)}{2}+3^{k+1}[/math] [br] [br] [math]=\frac{\left(3^{k+1}-3\right)}{2}+\frac{3^{k+1}}{1}[/math] [br] [br] [math]=\frac{3^{k+1}+2\left(3^{k+1}\right)-3}{2}[/math][br] [br] [math]=\frac{3^{k+1}+2\left(3^{k+1}\right)}{2}-\frac{3}{2}[/math][br] [br] [math]=\frac{1\cdot\left(3^{k+1}\right)+2\cdot\left(3^{k+1}\right)}{2}-\frac{3}{2}[/math][br] [br] [math]=\frac{\left(1+2\right)3^{k+1}}{2}-\frac{3}{2}[/math][br] [br] [math]=\frac{3\left(3^{k+1}\right)}{2}-\frac{3}{2}[/math][br] [br] [math]=\frac{3^{k+2}-3}{2}[/math][br] [br] [math]=\frac{3\left(3^{k+1}-1\right)}{2}[/math][br] [br] [math]=\frac{3}{2}\left(3^{k+1}-1\right)[/math] [br] [br] [math]\therefore p\left(k+1\right)[/math] es "verdad"