Métodos Numéricos
El alumno conocerá las técnicas más importantes para la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales y las aplicará a problemas prácticos mediante la elaboración de sistemas computacionales.
Inhaltsverzeichnis
- Método de Bisección
- Definición
- Ejemplo - Método de Bisección
- Aplicación del Método de Bisección
- Método de Bisección Utilizando Excel
- Ventajas y Desventajas del Método
- Actividades
- Realiza tu propia escena Geogebra
- Ejercicios
- El problema del Agricultor
- Evaluación
- Evalución Método de Bisección
Definición
[justify]En muchas aplicaciones de la ingeniería y la ciencia se presentan con frecuencia problemas que no se pueden resolver analíticamente , por lo que se recurre a los métodos numéricos para poder encontrar una solución.[br][br]El objetivo de aplicar algún método numérico es para encontrar raíces reales de ecuaciones no lineales de una variable, que satisfacen a una ecuación del tipo: [math]f\left(x\right)=0[/math][br][br]Los valores que hacen una función [math]f\left(x\right)=0[/math], se conocen con el nombre de raíces o ceros de [math]f[/math].[br][br]El [b]método de bisección[/b] es el más antiguo y sencillo para determinar las raíces reales de una ecuación; también denominado método de Bolzano, ya que éste fue el primero en proponerlo. Comienza con un intervalo [math]\left[a,b\right][/math] donde [math]f\left(a\right)[/math] y [math]f\left(b\right)[/math] son de signos opuestos, garantizando así la existencia de al menos una raíz en el intervalo [math]\left[a,b\right][/math]. Esta es una consecuencia del teorema del valor medio para funciones continuas.[br][br][b]Teorema. [/b][i] Si [/i][math]f[/math][i] es una función continua definida en el intervalo [/i][math]\left[a,b\right][/math][i] y se satisface [/i][math]f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0,[/math][i] entonces existe al menos un número [/i][math]x[/math][i] en [/i][math]\left(a,b\right)[/math][i] tal que [/i][math]f\left(x\right)=0[/math][/justify][left]El método consiste en dividir sucesivamente el intervalo [math]\left[a,b\right][/math], por la [b]mitad[/b] hasta que la longitud del intervalo sea [b]cero[/b].[br][br]En la siguiente escena se muestra la representación gráfica del método de bisección.[/left][left][/left]
Esta técnica se basa en el teorema del valor intermedio y parte del supuesto que [math]f\left(a\right)[/math] y [math]f\left(b\right)[/math] tienen signos opuestos. Aunque el procedimiento funciona bien para el caso en el que existe más de una solución en el intervalo [math]\left[a,b\right][/math] , se considera por simplicidad que es única la raíz en dicho intervalo.[br][br]Básicamente, el método consiste en dividir a la mitad repetidamente los subintervalos de [math]\left[a,b\right][/math] y en cada paso, localizar la mitad que contiene a la solución, [math]m[/math].
Aplicación del Método de Bisección
¿Cómo empleamos el método de Bisección?
El método consiste en dividir por la mitad repetidamente los subintervalos de [math]\left[a,b\right][/math] d y en cada paso localizar la mitad que contiene la solución de [math]m[/math]. [br][br]Para visualizar cada iteración es necesario realizar una tabla la cual contendrá los valores correspondientes a cada aproximación del polinomio.[br][br]Tomemos como referencia la siguiente función: [math]f\left(x\right)=x^3+4x^2-10[/math][br][br]La tabla contendrá 7 columnas de la siguiente manera:[br][br][table][tr][td][math]a[/math][/td][td][math]b[/math][/td][td][math]m[/math][/td][td][math]f\left(a\right)[/math][/td][td][math]f\left(b\right)[/math][/td][td][math]f\left(m\right)[/math][/td][td][math]Error[/math][/td][td][math]n[/math][br][/td][/tr][tr][td]1[/td][td]1.5[/td][td]1.25[/td][td]-5[/td][td]2.375[/td][td]-1.796875[/td][td]0.25[/td][td]1[/td][/tr][tr][td]1.25[/td][td]1.5[/td][td]1.375[/td][td]-1.796875[/td][td]2.375[/td][td]0.16210938[/td][td]0.125[/td][td]2[/td][/tr][/table][br]Donde:[br][br][math]m=\frac{a_1+b_1}{2}[/math][br][br][math]f\left(a\right)=a_1^3+4\cdot a_1^2-10[/math][br][br][math]f\left(b\right)=b_1^3+4\cdot b_1^{ }^2-10[/math][br][br][math]f\left(m\right)=m^3+4\cdot m^2-10[/math][br][br][math]Error=\frac{b_1-a_1}{2}[/math][br][br]Para la sucesión de [math]a_n[/math] tenemos:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/UNI/metodo-biseccion/T1.png[/img][br][br]Para la sucesión de [math]b_n[/math] tenemos:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/UNI/metodo-biseccion/T2.png[/img][br][br][br]En la siguiente escena tenemos la tabla y la interpretación gráfica de la función; en esta escena podrás ingresar la función así como los valores de [math]a_1[/math] y [math]b_1[/math][br]
¿Cómo interpretamos el ejemplo anterior?
[list=1][*]El deslizador mostrado en la escena (n) representa el número de iteración del método de bisección.[/*][*]La tabla representa la aplicación del método pasó por paso.[/*][*]En la interpretación gráfica se muestran 3 puntos, cuando estos puntos se unen, significa que converge y encontramos el punto de solución. En este caso en la iteración número 7.[/*][/list]
Realiza tu propia escena Geogebra
Primeros paso en GeoGebra
Intenta reproducir la escena para el método de bisección en el software de GeoGebra, este puedes descargarlo o bien realizar la actividad en línea, ambas opciones puedes seleccionarlas en el sitio oficial de GeoGebra [url=https://www.geogebra.org/]https://www.geogebra.org[/url].[br][br]Si no tienes experiencia en GeoGebra puedes consultar la documentación oficial o bien ver el siguiente vídeo tutorial [url=https://www.youtube.com/watch?v=Wkb9eW4uQP0&t=5s]https://www.youtube.com/watch?v=Wkb9eW4uQP0&t=5s [br][/url]
Construcción de la Escena
Para la construcción de esta escena es importante seguir los siguientes pasos:[br][br][list=1][*]En la opción vista habilitar la opción Hoja de cálculo,[/*][*]Una vez habilitado con la opción texto [icon]/images/ggb/toolbar/mode_text.png[/icon] escribe los encabezados de la tabla con los valores: [i]a,b, m, f(a), f(b), f(m) [/i]y [i]error[/i][/*][*]En la barra de entrada ingresa una función para realizar la configuración de las iteraciones del método de bisección.[/*][*]Dado que el método de bisección es un método iterativo en la hoja de cálculo se definirán cada uno de los valores vistos en el capitulo II de este libro. Se inicia definiendo los valores de [i]a [/i] y [i]b [/i] en la hoja de cálculo.[/*][*]En la posición C2 definimo [i]m[/i] .[/*][*]En la posición D2, se define [i]f(a), [/i] damos clic ahí y se en la pestaña de propiedades definimos f(a).[/*][*]En la posición E2, se define [i]f(b), [/i] damos clic ahí y se en la pestaña de propiedades definimos f(b).[br][/*][*]En la posición F2, se define [i]f(m), [/i] damos clic ahí y se en la pestaña de propiedades definimos f(m)[br][/*][*]Por último en la posición H2 definimos el error.[/*][*]Los pasos 5,6,7,8, 9 se repiten hasta las iteraciones deseadas[/*][*]Para que los valores sean dinámicos seleccionamos la opción casilla de entrada.[icon]/images/ggb/toolbar/mode_textfieldaction.png[/icon] para generar los campos de texto para [i]f(x), a, [/i]y [i]b.[/i][/*][*]Por último selecciona la opción de lista [icon]/images/ggb/toolbar/mode_createlist.png[/icon] para generar los puntos de convergencia.[/*][/list]Intenta reproducir la escena.
El problema del Agricultor
Resuelve el siguiente problema.
Un agricultor tiene un problema en la producción de tomate, ya que una plaga ataca el cultivo. Un grupo de agrónomos y matemáticos determina que la plaga se duplicará aproximadamente entre uno o dos días. El modelo matemático encontrado, para determinar con precisión dicho tiempo, consiste en resolver la ecuación [math]e^x-x^4+1=0[/math] en el intervalo [math]\left[1,2\right][/math].[br][br]Realiza las siguientes actividades:[br][br]
1. Gráfica la función
2. Aplica el método de bisección
¿Cuál es valor aproximado de la raíz?
Evalución Método de Bisección
[size=150]Contesta el siguiente cuestionario[/size]
¿Cuántas raíces se pueden determinar con el método de bisección?
¿En que teorema se basa el método de Bisección?
El método de Bisección consiste en dividir en tres partes repetidamente el intervalo [a,b]
El método de la bisección, aunque es conceptualmente claro, tiene el inconveniente de que es lento en su convergencia
El método tiene la importante propiedad de que siempre converge a una solución, además de que lo único que se requiere es que sea continua.