Dados perfectos, dados cargados
Una aproximación intuitiva y no formal a la Ley de los Grandes Números y al cálculo de probabilidades.
Table of Contents
- Hablando de probabilidad
- Lenguaje probabilístico
- Respuestas coherentes e incoherentes
- Dados perfectos, dados cargados
- Lanzamos un dado
- Lanzamos un dado muchas veces
- Lanzando un par de dados
- Lanzamos un par de dados
- Lanzamos un par de dados muchas veces
- Probabilidades de la suma de dos dados
- Probabilidades de la suma de dos dados perfectos
- Probabilidades de la suma de dos dados cargados
- Probabilidades de la suma de un dado perfecto y otro cargado
Lenguaje probabilístico
Observaciones
Se supone que siempre lanzamos [i]dados perfectos[/i] (perfectamente equilibrados) de seis caras.[br]Sólo consideramos el lanzamiento si obtenemos un resultado.
Pregunta 1
Obtener un número distinto de tres al lanzar un dado es ...
Pregunta 2
Al lanzar un dado, obtener un número que a la vez sea par y divisible por cinco es ...
Pregunta 3
Obtener tres cincos al lanzar tres veces un dado es ...
Pregunta 4
Obtener un número menor que ocho al lanzar un dado es ...
Lanzamos un dado
Tenemos dos tipos de dados, rojos y negros.[br]Los de un color son perfectos y los del otro están cargados, pero no sabemos cuál es cuál.[br]Vamos a experimentar. Escogemos un dado de cada color y los lanzamos individualmente varias veces.
Un dado rojo
¿Está el dado rojo cargado?
Un dado negro
¿Está el dado negro cargado?
Pregunta
¿Qué se podría hacer para tener más seguridad sobre cuáles son los dados cargados?
Lanzamos un par de dados
Un par de dados
Tenemos dados rojos y negros.[br]Por el estudio que hemos realizado lanzando un dado rojo y otro negro hemos establecido la siguiente hipótesis:[br][br]Los dados negros son perfectos (perfectamente equilibrados).[br][br]Los dados rojos están cargados. Las probabilidades de los dados rojos son:[br] [math]\text{P(1)}=\frac{1}{10}[/math] [math]\text{P(2)}=\frac{1}{10}[/math] [math]\text{P(3)}=\frac{2}{10}[/math][br] [math]\text{P(4)}=\frac{3}{10}[/math] [math]\text{P(5)}=\frac{2}{10}[/math] [math]\text{P(6)}=\frac{1}{10}[/math][br][br]Para realizar nuestro siguiente estudio vamos a tomar un par de dados negros y un par de dados rojos al azar. Vamos a lanzar los dos dados negros y sumar sus resultados. Lo mismo para los dados rojos
Dos dados perfectos
¿Es correcto?
¿Es compatible este resultado con que los dados sean perfectos?
Dos dados cargados
¿Es correcto?
¿Crees que los dos dados rojos están los dos cargados como se describe al principio?
Probabilidades de la suma de dos dados perfectos
Vamos a calcular las probabilidades de los resultados que se pueden obtener al tirar dos dados de seis caras y sumar los valores que se obtienen. [br]En esta ocasión, suponiendo los dados perfectos.[br][br]Normalmente se suele contar el número de casos favorables, pues son equiprobables:
Tenemos 36 resultados posibles y las siguientes probabilidades:[br][br] [math]\text{P(2) = }\frac{1}{36}=0.02777...\approx2,8\%[/math][br] [math]\text{P(3) = }\frac{2}{36}=0.0555...\approx5,6\%[/math][br] [math]\text{P(4) = }\frac{3}{36}=0.08333...\approx8,3\%[/math][br][br]Calcula el resto de probabilidades
Comprueba que los resultados tienden a las probabilidades calculadas:
Otra forma de verlo
Esta forma es un poco más general y nos va a servir para calcular las probabilidades en el caso de que algún dado esté cargado.[br][br]Calculamos la probabilidad de cada uno de los 36 casos posibles.[br]Son equiprobables. La probabilidad de cada caso es [math]\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}=0,02777...\approx2,8\%[/math].
Calculamos así las probabilidades obteniendo los mismos resultados: [br] [math]\text{P(2) = }\frac{1}{36}=0.02777...\approx2,8\%[/math] [br] [math]\text{P(11) = }\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{2}{36}=0.0555...\approx5,6\%[/math][br] [math]\text{P(4) = }\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{36}=0.08333...\approx8,3\%[/math]
Álgebra y probabilidades de sucesos
Puede que hayas estudiado ya álgebra de sucesos, las operaciones unión (⋃) e intersección (∩).[br][br]También que cuando dos sucesos A y B son independientes, es decir, el resultado de uno no influye en las probabilidad del otro, la probabilidad de que se cumplan ambos a la vez:[br][br] [math]\text{P(A ∩ B)}=\text{P(A) \cdot P(B)}[/math][br][br]Podemos espresar así formalmente los cálculos que hemos venido realizando:[br][br] [math]\text{P(4) = }\text{P}(\text{A}1\cap\text{B}3)+\text{P}(\text{A}2\cap\text{B}2)+\text{P}(\text{A}3\cap\text{B}1)=\text{P}(\text{A}1)\cdot\text{P}(\text{B}3)+\text{P}(\text{A}2)\cdot\text{P}(\text{B}2)+\text{P}(\text{A}3)\cdot\text{P}(\text{B}1)=[/math][br] [math]=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{36}=0,08333...\approx8,3\%[/math][br][br]Esta es la justificación y expresión formal de lo que hemos realizado anteriormente.[br][br] [math]\text{P(2) = }\frac{1}{36}=0.02777...\approx2,8\%[/math] [br] [math]\text{P(3) = }\frac{2}{36}=0.0555...\approx5,6\%[/math][br] [math]\text{P(4) = }\frac{3}{36}=0.08333...\approx8,3\%[/math][br][br]Escribe el desarrollo formal de P(11) y P(10).