Geometrische Zerlegungen, Quadraturen
Dreieck, Fünfeck, Sechseck, Konstruktionen mit dem Kathetensatz
Table of Contents
- I. Einleitung
- Dreieck, Sechseck, ...
- II. Quadratur eines gleichseitigen Dreiecks
- II.1. Quadratur eines gleichseitigen Dreiecks
- II.2. Umwandlung eines Quadrats zum gleichseitigen Dreieck
- III. Quadratur eines regelmäßigen Sechsecks
- III.1. Vom Sechseck zum Quadrat
- III.2. Vom Quadrat zum Sechseck
- III.3. Zusammenhängende Zerlegung (Sechseck)
- IV. Quadratur eines regelmäßigen Fünfecks
- IV.1. Vom Fünfeck zum Quadrat
- IV.2. Vom Quadrat zum Fünfeck
- IV.3. Zusammenhängende Zerlegung (Fünfeck)
- V. Anhang: Mathematische Details
- V.1. Details zu Kapitel II.1.
- V.2. Details zu Kapitel IV.2.
Dreieck, Sechseck, ...
Ein Weg, ein regelmäßiges n-Eck so zu zerlegen, dass die Teile ein Quadrat bilden können, ist zunächst die Umformung zu einem Parallelogramm. Dafür benötigt man maximal n+1 Teile, wie die Abbildung für ein Neuneck zeigt. Ein Parallelogramm wiederum lässt sich immer mit endlich vielen Schritten zu einem Quadrat verwandeln. Die Suche nach einer Quadratur eines n-Ecks kann trotzdem reizvoll sein, wenn eines der folgenden Ziele verfolgt wird:[br][list][*]mit wenigen Teilen auszukommen[/*][*]besonders ansprechend aufzuteilen, z.B. durch Symmetrien[/*][*]eine zusammenhängende Aufteilung zu erreichen[br][/*][/list]
Dem englischen Mathematiker und Rätselerfinder Henry Ernest Dudney gelang es 1903, ein gleichseitiges Dreieck so in 4 Teile zu zerlegen, dass diese zu einem Quadrat zusammengefügt werden konnten (siehe auch: [color=#0000ff][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Dudeney]en.wikipedia.org/wiki/Henry_Dudeney[/url][/color]).[br]Bei einem Modell verband er die Teile mit Scharnieren und konnte sie dann wahlweise zu einem Dreieck oder einem Quadrat zusammenklappen (hinged dissection = zusammenhängende Zerlegung).
Ich fand diese Zerlegung 1979 in einem Mathematikschulbuch, in dem auch eine Konstruktion für die Zerlegung angegeben war. Sie erschien mir etwas umständlich, und ich konnte sie durch Anwendung des Kathetensatzes anstelle des Höhensatzes vereinfachen (siehe nächste Seite). Im gleichen Jahr zeigte ein Plakat zum Bundeswettbewerb Mathematik die Zerlegung eines Sechsecks in sechs Teile, aus denen sich ein Quadrat legen ließ. Das führte zur Frage, wie man diese Aufteilung konstruieren kann, und auch dabei erwies sich der Kathetensatz als sehr geeignet. Dann versuchte ich, eine Zerlegung für ein regelmäßiges Fünfeck selbst zu finden. Meine damaligen Notizen und analogen Zeichnungen möchte ich hiermit in zeitgemäßer Form und mit einigen Ergänzungen zusammenfassen. n-Ecke mit n>6 werden in diesem Buch nicht weiter thematisiert.
II.1. Quadratur eines gleichseitigen Dreiecks
(nach Henry Ernest Dudney)[br][br]Im gleichseitigen Dreieck [math]ABC[/math] mit der Grundseite [math]c[/math] und der Höhe [math]h[/math] ist [math]M[/math] der Mittelpunkt der Seite [math]\overline{BC}[/math] und [math]F[/math] der Mittelpunkt von [math]\overline{AC}[/math].[br]Das Dreieck hat den Flächeninhalt [math]\mathcal{A}=\small\frac{1}{2}\normalsize h\cdot c=\small\frac{1}{4}\normalsize\sqrt{3}c^2[/math] und ist flächengleich zum eingezeichneten Rechteck mit den Seiten [math]\small\frac{1}{2}\normalsize h[/math] und [math]c[/math], dessen kurze Seite parallel zu [math]\overline{AB}[/math] liegt. Der Halbkreis über der Seite [math]\overline{ME}[/math] schneidet [math]\overline{AB}[/math] im Punkt [math]Q[/math]. Nach dem Kathetensatz für das Dreieck [math]EMQ[/math] gilt [math]\left|\overline{MQ}\right|^2=\left|\overline{MD}\right|\cdot\left|\overline{ME}\right|=\small\frac{1}{2}\normalsize h\cdot c=\mathcal{A}[/math]. [math]a=\left|MQ\right|[/math] ist also die Seitenlänge des flächengleichen Quadrats.[br]Für die Zerlegung wird noch ein Punkt [math]G[/math] benötigt, er erscheint bei Auswahl des Kontrollkästchens [i][color=#9900ff]Konstruktionslinien[/color][/i]. [math]G[/math] liegt auf [math]\overline{AB}[/math] und hat von [math]Q[/math] den Abstand [math]\small\frac{1}{2}\normalsize c[/math] .[br]Von [math]F[/math] und [math]G[/math] werden die Lote auf [math]\overline{MQ}[/math] gefällt, um das Dreieck in 4 Teile zu zerlegen.[br]Wählen Sie das Kontrollkästchen [color=#9900ff][i]Teile bewegen[/i][/color], um das Dreieck zum Quadrat umzuwandeln (die Punkte werden dann ausgeblendet).
Der Abstand von [math]Q[/math] zu [math]A[/math] ist nur geringfügig größer als [math]0.25\cdot c[/math], er beträgt ca. [math]0.2545076\cdot c[/math] (Rechnung siehe [b][url=https://www.geogebra.org/m/vwf4z8pc#material/vycetkfu]Anhang[/url][/b]). Dementsprechend erscheint beim Wechseln zwischen den Kontrollkästchen [color=#9900ff][i]Dreieck & Rechteck[/i][/color] und [color=#9900ff][i]Konstruktionslinien[/i][/color] Punkt [math]G[/math] ein wenig rechts von [math]D[/math].[br][b]Anmerkung: Bei Dezimalbrüchen wird in diesem Buch in Anlehnung an die Schreibweise in GeoGebra-Applets der Punkt als Trennzeichen verwendet, und nicht das im Deutschen übliche Komma.[/b][br][br]Innerhalb gewisser Grenzen ist diese Zerlegung auch für ungleichseitige Dreiecke möglich.
Zerlegung für die Quadratur eines Dreiecks mit unterschiedlich langen Seiten
III.1. Vom Sechseck zum Quadrat
(Nach einem Plakat zum Bundeswettbewerb Mathematik 1979)[br][br]Diese Zerlegung des regelmäßgen Sechsecks kann man wie folgt herleiten: Zunächst wird das Sechseck so zerlegt, dass aus den Teilen ein Parallelogramm gebildet werden kann, bei dem eine Seite bereits die Seitenlänge des flächengleichen Quadrats besitzt. Im weiteren Schritt wird das Parallogramm so in weitere Teile zerlegt, dass aus ihnen das Quadrat gebildet werden kann. Sie können diese zwei Schritte nachvollziehen, wenn Sie im Applet die Teile bewegen.[br][br][i]Konstruktion der Quadratseite bei der zunächst dargestellten Zerlegung[/i]:[br]Für den Flächeninhalt des Sechsecks mit der Seitenlänge [math]s[/math] gilt [math]\mathcal{A}=\small\frac{3}{2}\normalsize\sqrt3 s^2[/math]. Für die Anwendung des Kathetensatzes wird das rechtwinklige Dreieck [math]BJK[/math] konstruiert, dessen Hypotenuse die Länge [math]\left|\overline{BK}\right|=\sqrt3 s[/math] besitzt sowie einen Hypotenusenabschnitt der Länge [math]\left|\overline{BR}\right|=\small\frac{3}{2} s[/math]. Die Strecke [math]\overline{BJ}[/math] hat damit die Länge [math]q[/math] der Seite eines flächengleichen Quadrats. Zur Aufteilung des Sechsecks:[br][math]L[/math] ist ein Punkt auf einem Abschnitt der Strecke [math]\overline{AF}\[/math], Sie können ihn im Applet bewegen. Die Spiegelung von [math]L[/math] an Der Geraden [math]BE[/math] liefert [math]N[/math]. Von [math]L[/math] und [math]N[/math] werden die Lote auf [math]\overline{BJ}[/math] gefällt, diese liefern [math]P[/math] und [math]Q[/math].[br][br][i]Konstruktion der Quadratseite bei der Zerlegung nach Paul Busshop (Belgier, 19. Jhdt.)[/i]:[br]Zur Darstellung dieser Zerlegung aktrivieren Sie das entsprechende Kontrollkästchen.[br]Für die Anwendung des Kathetensatzes ist die Hypotenuse mit der Länge [math]3s[/math] aus Platzgründen nur zur Hälfte von [math]F[/math] bis [math]H[/math] dargestellt, der Thaleskreis ist deshalb ebenfalls unvollständig. Der Hypotenusenabschnitt hat die Länge [math]\left|\overline{FW}\right|=\small\frac{1}{2}\normalsize\sqrt3 s[/math]. Weiterhin gilt [math]\overline{BO}⟂\overline{FI}[/math], [math]\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{ID}[/math], [math]\overline{ST}⟂\overline{FI}[/math].[br][br]Zum Bewegen der Teile aktivieren Sie das Kontrollkästchen im Applet, zur Anzeige der Konstruktion deaktivieren Sie es.[br][br]
IV.1. Vom Fünfeck zum Quadrat
Eine einfache Zerlegung des Fünfecks in drei Teile, die ein Parallelogramm bilden können, zeigt die obige Abbildung. Einige mögliche Aufteilungen zur Quadratur des Parallelogramms lassen erkennen, dass mindestens sechs Teile entstehen.[br]Im Applet ist [math]F[/math] der Mittelpunkt von [math]\overline{EC}[/math], [math]G[/math] ergibt sich aus einer 36°-Drehung von [math]F[/math] um [math]C[/math]. [br]Die gestrichelten Linien zeigen, wie die Strecke [math]\overline{RQ}[/math] konstruiert wird: Ihre Länge [math]q[/math] ist die der Quadratseite.[br][math]K[/math] hat in der Ausgangsstellung von [math]Q[/math] den Abstand [math]\left|\overline{FC}\right|[/math], kann aber auf der Strecke [math]\overline{EF}[/math] bis zu [math]E[/math] verschoben werden. Wenn [math]K[/math] von [math]Q[/math] den Abstand [math]\small\frac{1}{2}\normalsize(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{FC}\right|)[/math] hat, sind die Dreiecke [math]RLT[/math] und [math]KSQ[/math] [i]kongruent[/i].[br][math]Q[/math] kann auf der Strecke [math]\overline{FC}[/math] zwischen der Ausgangslage und [math]C[/math] frei verschoben werden - wobei [math]R[/math] entsprechend mitbewegt wird, damit die Länge [math]q[/math] erhalten bleibt.[br][math]L[/math] liegt zunächst auf [math]B[/math], verschiebt sich aber mit [math]K[/math] parallel zu [math]K[/math]. Die Lote von [math]K[/math] und [math]L[/math] auf [math]\overline{RQ}[/math] schließen die Aufteilung des Fünfecks ab. Dabei gilt: Die Streckenlängen [math]\left|\overline{KS}\right|[/math] und [math]\left|\overline{LT}\right|[/math] ergeben zusammen die Länge der Quadratseite [math]q[/math].
V.1. Details zu Kapitel II.1.
Im [b]Kapitel II.1.[/b] (Quadratur des gleichseitigen Dreiecks) wird für die Lage des Punktes [math]Q[/math] der genäherte Abstand zu [math]A[/math] angegeben. Dieser Wert ergibt sich aus folgender Rechnung:[br]Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge [math]c[/math] wird mit [math]\mathcal{A}=\small\frac{\sqrt{3}}{4}\normalsize c^2[/math] berechnet, daher gilt für die Seitenlänge des flächengleichen Quadrats [math]a=\sqrt{\mathcal{A}}=\small\frac{1}{2}\normalsize\sqrt[4]3\;c[/math]. Der Teilpunkt [math]Q[/math] hat von [math]B[/math] den Abstand [math][br]\sqrt{a^2-\left(\small\frac{h}{2}\normalsize\right)^2}+\small\frac{c}{4}\normalsize[br]=\sqrt{\small\frac{1}{4}\normalsize\sqrt3 c^2-\left(\small\frac{1}{4}\normalsize\sqrt3 c \right)^2}+\small\frac{1}{4}\normalsize c[br]=\left(\small\frac{1}{2}\normalsize\sqrt{\sqrt3-\small\frac{3}{4}\normalsize}+\small\frac{1}{4}\normalsize\right)c[br][/math]. Von [math]A[/math] hat [math]Q[/math] damit den Abstand [math][br]c-\left(\small\frac{1}{2}\normalsize\sqrt{\sqrt3-\small\frac{3}{4}\normalsize}+\small\frac{1}{4}\normalsize\right)c[br]=\left(\small\frac{3}{4}\normalsize-\small\frac{1}{2}\normalsize\sqrt{\sqrt3-\small\frac{3}{4}\normalsize}\right)c\approx 0.2545076\, c[br][/math].