Le parti (c) e (d) si riferiscono in particolare alle funzioni che si ottengono dalle famiglie di funzioni assegnate nel problema, posto [math]a=1[/math].[br]Possiamo osservare che [math]f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)=sinh\left(x\right)[/math] e [math]g\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)=cosh\left(x\right)[/math], e tali funzioni iperboliche soddisfano l'identità fondamentale [math]sinh^2\left(x\right)-cosh^2\left(x\right)=1[/math]

Verificare l'identità [math]g^2\left(x\right)-f^2\left(x\right)=1[/math] e determinare il numero intero per cui [math]50\le g\left(x\right)-f\left(x\right)\le100[/math].[br]Specificare quale tra [math]f\left(x\right)[/math] e[math]g\left(x\right)[/math] è una funzione invertibile in [math]\mathbb{R}[/math] e ricavare l'espressione analitica della funzione inversa.

[math]g\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)[/math], [math]f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)[/math].[br][math]g^2\left(x\right)-f^2\left(x\right)=\left(g\left(x\right)+f\left(x\right)\right)\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)=e^x\cdot e^{-x}=1[/math] CVD[br][br]La doppia disequazione [math]50\le g\left(x\right)-f\left(x\right)\le100[/math] equivale al sistema costituito dalle disequazioni[br][math]g\left(x\right)-f\left(x\right)\le100[/math] e [math]g\left(x\right)-f\left(x\right)\ge50[/math] → [math]e^{-x}\le100[/math] e [math]e^{-x}\ge50[/math], la cui soluzione è [math]-ln\left(100\right)\le x\le-ln\left(50\right)[/math].[br]Approssimando tali valori a 2 cifre decimali abbiamo l'intervallo [math]-4.6\le x\le-3.9[/math] che contiene l'unico numero intero [math]n=-4[/math].[br][br]Poiché la monotonia è condizione sufficiente per l'invertibilità di una funzione, abbiamo che solo la funzione [math]f\left(x\right)[/math] è monotona, dunque invertibile.[br]Per determinare l'equazione della funzione inversa, risolvi l'equazione [math]y=f\left(x\right)[/math] rispetto alla [math]x[/math], quindi nella soluzione scambia le [math]x[/math] con le [math]y[/math]: [math]f^{-1}\left(x\right)=ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)[/math].[br][br][i]Osserva il grafico di [math]f\left(x\right)[/math] per verificare visualmente che la funzione è monotona crescente.[br]Il grafico della funzione inversa è simmetrico del grafico di [math]f\left(x\right)[/math] rispetto alla bisettrice del 1°/3° quadrante.[br]Trascina il punto su [math]f\left(x\right)[/math] per costruire il grafico della funzione inversa, scambiando le [math]x[/math] con le [math]y[/math] di ciascun punto di [math]f\left(x\right)[/math].[br][br][/i]

(d) Determinare l'equazione [math]y=P\left(x\right)[/math] della parabola [math]\gamma[/math] avente il vertice nel punto di minimo assoluto della funzione [math]g\left(x\right)[/math] e retta tangente, per [math]x=1[/math], parallela alla retta di equazione [math]2x+y=0[/math],[br]Calcolare l'area della regione finita [math]R[/math] delimitata da [math]\gamma[/math], dal grafico di [math]g\left(x\right)[/math] e dalle rette di equazione [math]x=\pm1[/math] e verificare che l'area di [math]R[/math] può essere approssimata con quella del triangolo isoscele inscritto nel segmento parabolico delimitato da [math]\gamma[/math] e dall'asse delle ascisse.

La parabola ha equazione generale [math]y=ax^2+bx+c[/math]. Imponendo che il vertice sia in [math]V\equiv\left(0,1\right)=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/math] e la tangenza in [math]x=1[/math] a una retta parallela a [math]y=-2x\rightarrow y'\left(x\right)=-2\rightarrow2ax+b=-2[/math] e risolvendo il sistema delle 3 equazioni, si ottiene la parabola di equazione [math]y=-x^2+1[/math].[br][br][i]Nell'app di seguito puoi visualizzare la parabola e l'area della regione di piano richiesta, oltre al triangolo isoscele inscritto nel segmento parabolico.[/i][br][br]L'area richiesta è costituita da due parti uguali, perchè sia la parabola che la funzione [math]g\left(x\right)[/math] sono funzioni pari. Quindi l'area richiesta è [math]2\int_0^1\left(g\left(x\right)-P\left(x\right)\right)dx=2\int_0^1\left(\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)+x-1\right)dx=e-e^{-1}-\frac{4}{3}\approx1.02[/math].[br][br]Il triangolo isoscele inscritto nel segmento parabolico ha per vertici [math]\left(-1,0\right),\left(1,0\right)[/math] e [math]\left(0,1\right)[/math], quindi ha area 1.[br]Tale valore costituisce una buona approssimazione dell'area della regione determinata in precedenza.