[size=85]Quadratische Gleichungen nutzt man, um Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse des Koordinatensystems zu erhalten. Dabei kann man folgende Formeln benutzen: [br] - Normalform[br] - allgemeine Form[br] - Satz von Vieta[br][/size]

[size=85]Aus der allgemein Form einer Parabel kann man die Normalform herleiten. Dabei wird die gesamte Form durch die Steigung a geteilt.[br][br][math]ax^2+bx+c=0[/math] [math](a\ne0)[/math][br][br]Man erhält dann diese Form[br][br][math]x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{c}{a}=0[/math] [math](a\ne0)[/math][br][br]In dieser ersetzt man zur besseren Übersicht [math]\frac{b}{a}[/math] durch [math]p[/math] und [math]\frac{c}{a}[/math] durch [math]q[/math].[br][br]Nun sieht die Normalform folgendermaßen aus:[br][br][math]x^2+px+q=0[/math][br][br]Diese Form eignet sich jetzt, um direkt in die Lösungsformel: [math]x_{1,2}=−\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2−q}[/math] eingesetzt zu werden.[br][br]Man erhält dann die Lösungen für [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math][br][br][br]Die Anzahl der Lösungen hängt von der Diskriminante [math]D[/math] mit [math]D=\frac{p^2}{2}−q[/math] ab.[br][br]Die Gleichung hat für [br][br][math]D=0[/math] genau eine Lösung [math]\left(x_1=x_2=−\frac{p}{2}\right)[/math][br][math]D>0[/math] zwei Lösungen[br][math]D<0[/math] keine Lösung[br][/size]

[size=85]Dies ist die allgemein gültige Form der quadratischen Gleichung:[br][br][math]ax^2+bx+c=0[/math] [math](a\ne0)[/math][br][br]Jede Parabel kann durch diese Form beschrieben werden.[br][br][math]a[/math] = Steigung der quadratischen Zuordnung[br][math]b[/math] = Steigung der linearen Zuordnung[br][math]c[/math] = Verschiebung in y-Achsenrichtung[br][br]Diese Form kann direkt in die Lösungsformel: [math]x_{1,2}=\frac{−b\pm\sqrt{b^2−4ac}}{2a}[/math] eingesetzt zu werden.[br][br]Man erhält dann die Lösungen für [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math][br][br][br]Die Anzahl der Lösungen hängt von der Diskriminante [math]D[/math] mit [math]D=b^2−4ac[/math] ab.[br][br]Die Gleichung hat für [br][br][math]D=0[/math] genau eine Lösung [math]\left(x_1=x_2=\frac{−b}{2a}\right)[/math][br][math]D>0[/math] zwei Lösungen[br][math]D<0[/math] keine Lösung[br][/size]

[size=85]Für die Lösungen [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math] einer quadratischen Gleichung gilt der Satz von Vieta:[br][br][math]x_1+x_2=−p[/math] und [math]x_1\cdot x_2=q[/math][br][br][math]x_1+x_2=−\frac{b}{a}[/math] und [math]x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}[/math][br][br]Mit den Lösungen ist eine Zerlegung in Linearfaktoren möglich:[br][br][math]x^2+px+q=0[/math] ⟺ [math](x−x_1)(x−x_2)=0[/math][br][br][math]ax^2+bx+c=0[/math] ⟺ [math]a(x−x_1)(x−x_2)=0[/math][/size]